Partialbruchzerlegung klappt nicht

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28.09.2007, 12:26	partiomat	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung klappt nicht Hallo Leute, ich soll folgende Funktion in Partialbrüche zerlegen: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x^4}{x^3-2x^2+x} \end{eqnarray}$ So, die Nullstellen des Nenners habe ich ausgerechnet, es gibt 1 (doppelte) und 0 (einfache) Nullstelle. Der Ansatz sieht also folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{A}{(x-1)} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{(x-0)} \end{eqnarray}$ So, nun die ganze Sache mit dem Nenner multipliziert und dann alles schön ausmultiplizieren um einen Koeffizientenvergleich zu machen und dann ein Gleichungssystem aufstellen. So sieht es dann erstmal aus: $\begin{eqnarray} x^4+0x^3+0x^2+0x+0 = Ax^2+Cx^2-Ax+Bx-2Cx+C \end{eqnarray}$ Aus dem Gleichungssystem würde A=B=C=0 folgen und das kann ja nicht sein. Was mache ich falsch?
28.09.2007, 12:55	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung klappt nicht Die Partialbruchzerlegung funktioniert nur, wenn der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist. Hier mußt du also vorher noch Polynomdivision machen. EDIT: Im übrigen kannst du vorher noch ein x rauskürzen.
28.09.2007, 13:18	partiomat	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, das x kann man vorher kürgen :-) Also Polynomdivision, aber was? teile ich den Nenner einfach durch eine gefundene Nullstelle und nehme das als meinen neuen Nenner und mach dann alles wie gehabt?
28.09.2007, 15:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gemeint ist, den Bruch (additiv) mittels Division in ein ganzrationales Polynom und in eine gebrochenrationale Funktion zu zerlegen. So viel kann schon mal verraten werden, dass sich beim Quotient als erster Summand x + 2 als ganzrationales Polynom ergibt ... Kannst du jetzt weiter? mY+
03.10.2007, 09:44	partiomat	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh, nee leider ist mir nicht ganz klar was gemacht werden muss. Kann man das vielleicht noch ein bisschen besser für einen Mathe Laien erklären? Wäre super nett.
03.10.2007, 10:39	Egon	Auf diesen Beitrag antworten »
Was der Vorposter meint, ist: - zuerst kürzest du den Bruch, das ergibt $\begin{eqnarray} \frac{x^3}{x^2-2x+1} \end{eqnarray}$ Nun hast du das Problem, dass der Grad des Zählers grösser ist, als der des Nenners. Die PBZ verlangt aber, dass der Grad des Zählers strikt kleiner sein muss -- d.h. er darf weder grösser noch gleich gross sein. Dieses Problem behebst du mit der Polynomdivision, also mit $\begin{eqnarray} x^3 : (x^2-2x+1) = \ldots \end{eqnarray}$ Du erhälst dann einen Quotienten und einen Rest; von mythos hast du schon den Tipp, dass der Quotient $\begin{eqnarray} x+2 \end{eqnarray}$ herauskommt. Den Rest kannst du selbst finden und erhältst dann etwas in dieser Art: $\begin{eqnarray} f(x) = x+2+\frac{\ldots}{(x-1)^2} \end{eqnarray}$ (die ... stehen für den Rest, den du bei der Polynomdivision erhältst). Diesen Bruch kannst du dann in Partialbrüche zerlegen. Probier schon mal die Division und melde dich dann noch mal.
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03.10.2007, 14:06	partiomat	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, Danke ich glaube jetzt habe ich es begriffen. Ich versuche mal: Also zuerst das kürzen, ok das ist klar. So, dann weil der Grad im Nenner nicht größer ist als der im Zähler muss ich mit Polynomdivision den Zähler durch den Nenner teilen. Dann erhalte ich zum einmal einen ganzrationalen Teil (Ergebnis der Division) und einen gebrochenrationalen Teil (Rest der Division). So, Ergebnis der Polynomdivision ist der ganzrationale Teil: $\begin{eqnarray} x+2 \end{eqnarray}$ und der gebrochenrationale Teil (Rest): $\begin{eqnarray} 5x-2 \end{eqnarray}$ Dann kann ich mein Polynom erstmal so aufschreiben: $\begin{eqnarray} p(x) = (x+2) + \frac{5x-2}{x^2-2x+1} \end{eqnarray}$ Und jetzt kann ich mit dem Bruch eine ganz normale Partialbruchzerlegung machen. Ansatz: $\begin{eqnarray} \frac{5x-2}{x^2-2x+1} = \frac{A}{(x-1)} + \frac{B}{(x-1)^2} \end{eqnarray}$ Den ganzrationalen Teil (x+2) lasse ich jetzt erstmal völlig unberücksichtig richtig? So, dann rechne ich mein A und B aus und erhalte A = 5 und B = 3 Und jetzt am Schluss muss ich aber den ganzrationalen Teil einfach mit davor schreiben oder? So dass die letzendliche Lösung folgendermaßen aussieht: $\begin{eqnarray} p(x) = (x+2) + \frac{5}{(x-1)} + \frac{3}{(x-1)^2} \end{eqnarray}$ So, wenn mir jetzt jemand sagt das stimmt würd ich mich riesig freuen und geh mir gleich 'nen Keks kaufen Besten Dank soweit an alle.
03.10.2007, 14:10	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast dich wohl verrechnet. Richtig wäre $\begin{eqnarray} f(x)=x+2+\frac3{x-1}+\frac1{(x-1)^2} \end{eqnarray}$
03.10.2007, 14:18	partiomat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, habe mich bei der Polynomdivision verrechnet, es kommt als Rest nicht 5x-2 sondern 3x-2 raus. Dann stimmt es auch mit deinem überein. Vielen Dank.

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