integrale

03.04.2005, 11:52

blinky01

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integrale

hi...ich hab mal ne frage und zwar geht es um partielle integration...

gegeben ist die funktion f mit f(x) = 0 für
x<3 und f(x) = 2*e hoch -2*(x-3) für x kleiner-gleich 3...
a)zeigen sie,dass f eine wahrscheinlichkeitsverteilung ist.
b)bestimmen sie F(x),E(x) und D²(X)

a) kann ich,aber bei b)

b) Es gilt
E(X)=integral - unendlich x*f(x) dx = 7/2

das geht mit partieller Integration
,aber wie?

genauso das :

D2(X)=integral - unendlich (x-7/2)² f(x) dx
=integral mit unten ner 3 dran (x-7/2)² * 2 * e^-2(x-3) dx =1/4

falls das jmd versteht und nachvollziehen kann,wäre ich für hilfe sehr dankbar...

03.04.2005, 12:12

Mathespezialschüler

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Du meinst größer-gleich oder? Ist das hie deine Funktion?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{für } x<3 \\ 2\operatorname{e}^{-2(x-3)} & \mbox{für } x\geq 3\end{cases} \end{eqnarray*}$

Sie ist zwar bei 3 unstetig, aber das macht ja beim Integrieren keine Probleme.

b) geht mit partieller Integration, richtig. Allgemein macht man

$\begin{eqnarray*} \int~x^n\operatorname{e}^x~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

mit partieller Integration, und zwar so: Bei partieller Integration hat man ja u*v'. Man nimmt hier dann erstmal $\begin{eqnarray*} v'(x)=\operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ , integriert dann partiell und erhält dadurch

$\begin{eqnarray*} ...-\int~x^{n-1}\operatorname{e}^x~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Das neue Integral löst man auf die gleiche Weise, wieder $\begin{eqnarray*} v'(x)=\operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$ und man erhält

$\begin{eqnarray*} ...-\int~x^{n-2}\operatorname{e}^x~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

usw. So differenziert man x^n herunter bis man bei $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ ist, also nur noch $\begin{eqnarray*} ...-\int~\operatorname{e}^x~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ hat und dann ist man fertig. Das macht man bei Polynomen p(x) dann genauso mit

$\begin{eqnarray*} \int~p(x)\operatorname{e}^x~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Und jetzt deinem: Du hast den Fall von oben mit n=1, ein besonders einfacher. Du musst einmal partiell integrieren mit

$\begin{eqnarray*} u(x)=x\ \ \mbox{und }\ v'(x)=\operatorname{e}^x \end{eqnarray*}$

Und zu D^2(x): Was ist denn das?? Falls deine Formel richtig ist, dann hast du ja wieder

$\begin{eqnarray*} \int_3^{\infty}\left(x-\frac{7}{2}\right)^2 \cdot 2 \cdot \operatorname{e}^{-2(x-3)}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

und das ist gerader der Fall

$\begin{eqnarray*} \int~x^n\operatorname{e}^x~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

für n=2, nur dass du hier halt $\begin{eqnarray*} \left(x-\frac{7}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ hast, aber das ist ja kein Problem!

03.04.2005, 12:13

4c1d

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$\begin{eqnarray*} E(X) = \int_{3}^{\infty}~2x*e^{-2(x-3)}~dx \end{eqnarray*}$
Ich würde das über Produktintegration mit $\begin{eqnarray*} u(x) = 2x \Rightarrow u'(x) = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(x) = e^{-2(x-3)} \Rightarrow v(x) = -\frac{e^{-2(x-3)}}{2} \end{eqnarray*}$ machen.
Was ist denn D²(X) ?

03.04.2005, 14:16

blinky01

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vielen dank erstmal,ich rechne das gleich mal durch,könnte sein,dass noch ne frage auftritt...;-)

und D² ist die streuung... smile

smile

03.04.2005, 14:54

4c1d

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Also nach deiner Definition
$\begin{eqnarray*} D^2(X) = \int_{3}^{\infty}~f(x)*(x- E(X))^2~dx \end{eqnarray*}$ mit E(X)=7/2
wäre das die Varianz deiner Zufallsvariablen.
Das Integrieren funktioniert da so ähnlich, du musst allerdings zweimal Produktintegration anwenden

03.04.2005, 16:50

blinky01

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ich kapiers einfach nicht...
ich schaff das nicht....aaaaaaaahhhhh traurig

traurig

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03.04.2005, 17:10

Anirahtak

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Hallo,

kein Grund zum Verzweifeln! Ist dir schon klar, wie sich der Erwartungswert berechnet?

Gruß
Anirahtak

03.04.2005, 17:13

4c1d

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Die Regel ist $\begin{eqnarray*} \int~u(x)*v'(x)~dx = u(x)*v(x) - \int~u'(x)*v(x)~dx \end{eqnarray*}$
Du musst jetzt nur die oben angegebenen Terme für u(x), v(x) usw. nehmen und einsetzen, am Besten erst einmal ohne die Grenzen (3 bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) und die Grenzen am Ende einsetzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.04.2005, 18:25

blinky01

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ja das mit den termen einsetzen krieg ich ja noch hin,aber diese integrationsgrenzen,was mach ich denn damit??ich mein,dann steht da irgendwo unendlich oder wie...??

03.04.2005, 18:38

4c1d

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An sich berechnest du den Grenzwert des sich ergebenden Terms, wenn die obere Grenze gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht. D.h. du musst betrachten, was passiert, wenn diese immer größer wird.
Was passiert z.B. für $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ , wenn x gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht?

03.04.2005, 22:29

blinky01

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wenn x gg unendlich geht,dann wird der term e^-x doch kleiner...oder nicht?

03.04.2005, 23:03

4c1d

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ja, genauer : der term geht gegen 0

04.04.2005, 10:22

blinky01

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ja,aber wie bring ich das jetzt in die berechnung dieser aufgabe ein??

04.04.2005, 10:37

klarsoweit

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Fassen wir zusammen. Es geht erstmal um:
$\begin{eqnarray*} E(X) = \int_{3}^{\infty}~2x*e^{-2(x-3)}~dx \end{eqnarray*}$
Willst du nun das unbestimmte Integral berechnen, um erstmal eine Stammfunktion zu bestimmen oder willst du bei der Produktintegration sofort mit den Integrationsgrenzen rechnen? Bei letzterem verwende statt unendlich als Grenze die Variable b und bilde den Grenzwert für b gegen unendlich. Ich denke mal, daß die Produktintegration keine Schwierigkeit darstellt, oder?

04.04.2005, 11:20

blinky01

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es geht um das,was du geschrieben hast,nur das a=3 ist und E = D² ist...und jmd sagte mir,es komme 1/4 heraus,und ich möchte den weg beschrieben haben,wie ich von dieser formel zu 1/4 komme...und das idiotensicher... Hammer

Hammer

04.04.2005, 11:50

Anirahtak

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Zitat:

Original von blinky01
E = D²

Was meinst du denn damit? Möchtest du Hilfe für die Berechnung der Varianz, für den Erwartungswert oder für beides...?

Gruß
Anirahtak

04.04.2005, 11:56

blinky01

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eigtl beides...aber dachte der erwartubngswert ist 7/2...
aber wichtig wäre mir sie streuung,also D²...

04.04.2005, 12:01

Anirahtak

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Ich würde dir empfehlen die Varianz mit dem Verschiebeunssatz zu berechen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{V}(X)=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2 \end{eqnarray*}$

Den Erwartungswert hast du ja schon berechnet. Also bleibt noch der Erwartungswert von X^2:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X^2)=\int~x^2\cdot f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Also fang mal an!

Gruß
Anirahtak

04.04.2005, 12:23

blinky01

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ja aber wenn E(X) = 7/2 ist,dann ist E(X)²=7/2²,aber wo ist genau der unterschied zu E(X²)?

04.04.2005, 12:26

Anirahtak

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X^2 ist halt eine andere Zufallsvariable, die auch einen Erwartungswert hat.
Aber wenn du den Verschiebungssatz nicht kennst, dann schreib doch mal hin, wie du gelernt hast, die Varianz zu berechnen. Welches Integral musst du lösen?

Gruß
Anirahtak

04.04.2005, 12:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von blinky01
ja aber wenn E(X) = 7/2 ist,dann ist E(X)²=7/2²,aber wo ist genau der unterschied zu E(X²)?

Es sind zwei unterschiedliche Integrale:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X^2) = \int~x^2\cdot f(x)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\mathbb{E}(X))^2 = (\int~x\cdot f(x)~dx)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt zur Varianz:
$\begin{eqnarray*} D^2(X) = \int_{3}^{\infty}~f(x)*(x- E(X))^2~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{3}^{\infty}~x^2 \cdot f(x)~dx - \int_{3}^{\infty}~2x \cdot E(X) \cdot f(x)~dx + \int_{3}^{\infty}~E(X)^2 \cdot f(x)~dx \end{eqnarray*}$
Wir haben jetzt drei Integrale bzw. drei Summanden.
Der 2. Summand = -2 * (E(X))²
Der 3. Summand = (E(X))²
Bleibt noch der 1. Summand: $\begin{eqnarray*} \int_{3}^{\infty}~x^2 \cdot f(x)~dx \end{eqnarray*}$
Schaffst du den selbst zu berechnen?

04.04.2005, 12:47

blinky01

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ich hab keine ahnung wie man das macht,wenn da unendlich und a steht beim integral und keine zahlen...

04.04.2005, 12:51

klarsoweit

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Also in dem Integral $\begin{eqnarray*} \int_{3}^{\infty}~x^2 \cdot f(x)~dx \end{eqnarray*}$ steht kein a. Und wenn das unendlich ein Problem ist, dann schreibe:
$\begin{eqnarray*} \int_{3}^{b}~x^2 \cdot f(x)~dx \end{eqnarray*}$
und laß dann b gegen unendlich gehen. Außerdem: warum brauchst du unbedingt Zahlen beim Integrieren? Da dürfen auch mal Platzhalter für Zahlen stehen. Was solls? Nun mach mal Produktintegration. Ob da als Grenze b steht oder 1000000000000000000 ist doch vollkommen egal.

04.04.2005, 12:59

blinky01

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ich kapiers aber nich...schreib mir das mal bitte,wie man dieses ding da integriert,damit ich einmal seh wies geht...

04.04.2005, 13:06

klarsoweit

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Deine strikte Weigerung, selbst mal was zu rechnen, ist schon bemerkenswert. Nun setze mal als erstes in $\begin{eqnarray*} \int_{3}^{b}~x^2 \cdot f(x)~dx \end{eqnarray*}$ den Funktionsterm ein. Dann mache Produktintegration, indem zu f(x) die Stammfunktion bildest. Dann kannst du u(x) = x² ableiten. Hier nochmal die Regel:
$\begin{eqnarray*} \int~u(x)*v'(x)~dx = u(x)*v(x) - \int~u'(x)*v(x)~dx \end{eqnarray*}$

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