Kürzen

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blackhoney Auf diesen Beitrag antworten »
Kürzen
Hallo, wie kann man diesen bruch kürzen?





ist ja eigentlich ganz einfach, aber steh grad auf der leitung
blinky01 Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du nicht oben und unten ein (x²-1) wegkürzen??

sollst du das ganz ausrechnen,oder nur kürzen?
blackhoney Auf diesen Beitrag antworten »

das ist eine ableitung, also will ich nur kürzen. hab auch gedacht, das (x²-1) wegzukürzen, aber dann weiß ich irgendwie nicht, was dann stehen bleibt. Is bestimmt ne aufgabe aus ner achten klasse, aber manchmal hab ich bei solchen sachen nen brett vorm kopf.
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

allgemein kürzen kannst du nur, wenn im nenner und zähler ein produkt steht!!!
oder falls im zähler zb eine summe steht, muss in jedem summand der gleiche faktor vorkommen, wie er im nenner steht (oder ein vielfaches...)!!!
das heißt, dass du hier eigentlich nicht kürzen kannst.

außer du teilst den großen bruch in zwei kleine auf; dann hättest du



so, nun hast du in dem ersten bruch im zähler ein produkt und im nenner ein produkt und in beiden produkten kommt ein (x^2-1) vor und das kannst du jetzt kürzen!
was bleibt dann übrig?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Stoff der 8. Klasse sicher nicht. Polynomdivision wird im Allgemeinen in der 11. gemacht. Mach es so:



Links kürzen und dann für den linken Bruch Polynomdivision. Sonst ist nicht viel zu vereinfachen.
blackhoney Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von babelfish

was bleibt dann übrig?


dann würde das übrig bleiben:
 
 
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

genau! Freude
jetzt kannst du noch polynomdivision durchführen.. (siehe MSS... kenne mich da nich aus! Augenzwinkern )
blackhoney Auf diesen Beitrag antworten »

aber polynomdivision muss ich doch bei beiden brüchen machen, oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt! Du kannst doch bei beiden eine Polynomdivision machen.
Deswegen hätten wir auch gleich am Anfang ausmultiplizieren können:



So und jetzt kannst du dann gleich Polynomdivision machen.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blackhoney


Da würd ich aber noch im rechten Bruch ausmultiplizieren, denn sonst müsstest du bei der nächsten Ableitung Produktregel anwenden, weil du x * x hast.

Nein, das musst du nicht. Es geht darum, dass du versuchen sollst, die Quotientenregel zu umgehen, die man ja jedes Mal dann anwenden muss, wenn x/x steht.

Wenn du für den linken Bruch Polynomdivision machst, so steht dann im Zähler kein x mehr und du brauchst keine Quotientenregel anwenden.

Machst du aber die Polynomdivision beim rechten Bruch, so würd dann noch immer im Zähler und im Nenner x stehen und somit müsstest du wieder Quotientenregel anwenden, also hat man keine Möglichkeit, sie beim rechten Bruch zu umgehen.

Und natürlich gilt auch:



Das heißt, man darf sich den Bruch aussuchen, den man vereinfachen (= Durchdividieren = Polynomdivision) möchte.

lg kiki
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir vielleicht mal eine/r sagen, was polynomdivision überhaupt ist?! verwirrt
danke! smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@babelfish
Guck mal hier Augenzwinkern
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Polynomdivision ist, wenn du ein Polynom hast, also einen mehrteiligen Ausdruck z.b. 3x³ - x² + 7
und einen Nenner hast, der auch ein Polynom ist.
Und der Bruchstrich bedeutet ja eine Division.
Und man kann das mit Bruchstrich hinschreiben, oder mit Diviisionszeichen und dann wie eine normale Division händisch rechnen:

z.b.

(3x³ - x² + 7) : (x² - 1) =

Nun fragst du dich wie bei einer Division mit Zahlen, wie oft x² in 3x³ enthalten ist. Und zwar 3x-mal. Dann multiplizierst du das mit (x² - 1) und ziehst es links ab:

3x³ - x² + 7 : (x² - 1) = 3x
3x³ -3x (Nun Vorzeichenwechsel, damit man es abziehen kann)
-.....+
______
0 - x² + 3x

Und nun fragst dich, wie oft x² in -x² enthalten ist ( -1 mal)und multiplizierst wieder zurück, schreibst es drunter, wechselst die Vorzeichen, damit dus wieder abziehen kannst. So lang, bis kein x mehr übrig bleibt, sondern nur noch eine Zahl - das ist dann der Rest.

3x³ - x² + 7 : (x² - 1) = 3x - 1
3x³ -3x
-.....+
______
0 -x² + 3x
..-x² + 1
..+....-
________
0 + 3x - 1 >> Das ist nun der Rest, da x² in 3x nicht mehr ganzzahlig enthalten ist.

Daher ergibt nun die Division:



Polynomdivision kannst nur durchführen, wenn im Zähler eine gleich hohe oder höhere Potenz als im Nenner ist.
Alles klar, Fischerle?
Wenn nicht, bombardier mich nur weiter, ich saaaaaaaaaag dir ALLES, was ich weiß, hihi...(also simma in 2 Minuten fertig!)

Bussi von
kiki

edit:

irgendwas stimmt da mit meiner Polynomdivision nicht....aber macht nix, das Prinzip stimmt und MSS hat dir ja eh einen Link gegeben.

Erschöpfte Grüßle
von
kiki
blackhoney Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm..komme irgendwie nich weiter...
ich rechne ja hier:

3x²: (x²-1)

oder?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt...lies mal meinen obigen Post, dann siehst, wie Polynomdivision geht. Der Rest, der bleibt, muss man wieder mit (x² - 1) als Nenner anschreiben.

lg kiki
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

danke, MSS! habs verstanden! smile

@kiki: war schon dabei mir den link von MSS durchzulesen, als du gepostet hast... war aber mindestens eine genauso schöne erklärung!!! *schleim* hihi! smile
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt da "schleimen"? Ich nehm das für bare Münze, hihi.
Also...schleim ruhig weiter! Ich mag das. Big Laugh

lg kiki
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

jaja, mein naives kikili! *kopftätschel*
hihi! wir werden langsam ziemlich off-topic...
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Dann hab ich dazu auch mal kurz ne Frage.
Ich verstehe nicht ganz was bei deinem Beispiel mit der +7 passiert, und mir ist auch nicht ganz klar, wann ich denn wei0 wann mein Ergebniss komplett ist, also wann ich fertig bin!



Gruss
Jan
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wir werden gleich gerügt werden, oder MSS verschiebt unser Off-Gequassel von äußerster Wichtigkeit ins Off-Topic, damit wir dort noch dieses Thema, das ja von größtem Weltinteresse ist, weiter diskutieren können, hihi.

In ewigem Gedenken! (mah, bin heut so total verblödelt)

kiki

Zitat:
Original von mercany
Hi!

Dann hab ich dazu auch mal kurz ne Frage.
Ich verstehe nicht ganz was bei deinem Beispiel mit der +7 passiert, und mir ist auch nicht ganz klar, wann ich denn wei0 wann mein Ergebniss komplett ist, also wann ich fertig bin!



Gruss
Jan


Ja genau deswegen hab ich da hingeschrieben, dass da was nicht stimmt, denn das ganze kann erst fertig sein, wenn ich die +7 verarbeitet hab...die -1 muss man wahrscheinlich gleich zur 7 dazuzählen, aber das ist ja total komisch. Irgendwo haperts da!
Ich hoff, einer der Mathegötter sieht das. Bin heut nachdenkbarkeitsunfähig. Wieso hab ich auch ausgerechnet so ein blödes Beispiel gewählt, hihi. smile


lg kiki

edit:

Verdammt! Jetzt hab ich einen Doppelpost auch noch fabriziert!
I know it's Monday when I wake up and it's Sunday.

edit: Doppelpost zusammengefügt Augenzwinkern (MSS)
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kikira
Ja, wir werden gleich gerügt werden, oder MSS verschiebt unser Off-Gequassel von äußerster Wichtigkeit ins Off-Topic, damit wir dort noch dieses Thema, das ja von größtem Weltinteresse ist, weiter diskutieren können, hihi.


ääähm, unwahrscheinlich! Augenzwinkern

Zitat:
(mah, bin heut so total verblödelt)

kiki


mag dich trotzdem! smile

soooo, jetzt wieder zum eigentlich thema!

also wenn ich das richtig verstanden hab, merkst du das ende deiner polynomdivision daran, dass entweder

1. bei deinem subtrahieren 0 rauskommt! dann gehts ja logischerweise nich mehr weiter!

oder

2. wenn du zb durch (x^2 - 1) teilst und beim subtrahieren kommt zb 3x heraus, "passt" ja das x^2 nicht mehr in das 3x rein! dann gibts bei deiner polynomdivision einen rest r. als ergebnis hast du dann zb
2x + 5 + r/(x^2-1)
weil du den rest ja noch nich durch deine klammer geteilt hast, musst du das am ende machen!


/edit: @kiki: und jetzt auch noch en doppel-post, nenene! smile
blackhoney Auf diesen Beitrag antworten »

3x²: (x²-1) = 111 3/ x²-1
x²-1
2x²+1
x²-1
x²+2
x²-1
3


ist das richtig so?
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

also ich geh jetzt immer davon aus, dass ICH es verstanden hab... wenn das jetzt doch nich so ist, verbessert mich bitt, leute!!! smile

also, so stimmt das noch nich...

gleich bei der ersten subtraktion musst du dich fragen: wie oft passt x^2 in 3x^2 und dann wirst du denken: 3 mal!

also:

3x^2 : (x^2-1) = 3
-(3x^2 - 3) (entstanden: 3* (x^2-1))
3

also: 3x^2: (x^2-1) = 3 + 3/(x^2-1)
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blackhoney
3x²: (x²-1) = 111 \frac {3} {x²-1}
x²-1
2x²+1
x²-1
x²+2
x²-1
3


ist das richtig so?


Nö, das stimmt nicht.

Du musst dich fragen, womit du x² multiplizieren musst, damit 3x² rauskommt.

und x² * 3 = 3x²

daher steht nun nach dem Gleichheitszeichen als allererstes: 3

3x² : (x² - 1) = 3 [dann zurückmultiplizieren und drunter schreiben:]
3x² - 3 [nun die Vorzeichen wechseln und mit oben addieren:]
-.....+
________
0 + 3 [dann müsste man eigentlich die nächste Stelle herunterschreiben, aber da gibts ja keine mehr, daher ist 3 dein Rest]

und nun heißt das Ergebnis:



Weil ja die restliche 3 noch nicht durch (x² - 1) durchdividiert wurde.

Und nun siehst du, dass du keinen Bruch mehr mit x/x hast, daher auch nicht mehr Quotientenregel anwenden musst, sondern einfach den Nenner in den Zähler holst mit Minushochzahl und dann kannst das ableiten (mit Kettenregel allerdings, weil da ja x in einer Klammer steht und die Klammer eine Hochzahl hat)



lg kiki

@babelfischerle

Es müssen alle Zahlen vom linken Polynom verarbeitet sein. Wenn das passiert ist, dann macht man so lang weiter, bis nicht mehr ganzzahlig enthalten ist. Den Rest schreibt man dann so an, wie ich es oben erklärt hab.

Bussl

edit:
@fischerle:

Mädel, du bist echt intelligent und kapierst schnell.
Und unsere Erklärweise ist 1 : 1, hihi.
Wir sind sicher sowas wie Seelenschwestern...Hauptsache ist bloß, dass wir keine Betschwestern sind, hihi.
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

@kiki: hihi! fehlt nur noch die blutsschwesterschaft! *ritz und über bildschirm kipp* hihi! smile

@mercany/blackhoney: bei dir jetzt auch alles klar? wenn nicht, hier ist der link von MSS, da is ne sehr, sehr gute erklärung! vielleicht hilft dir das...
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/polynomdivision.htm
blackhoney Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann hätte ich also:



und was hat mir das gebracht? versteh den sinn irgendwie nich
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Hab den Link schon gelesen....

Bei mir ist jetzt auch alles klar!



Gruss
Jan
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blackhoney
ok, dann hätte ich also:



und was hat mir das gebracht? versteh den sinn irgendwie nich


3 abgeleitet ist ja 0

vorher hättest du bei beiden Brüchen Quotientenregel anwenden müssen, die sehr umständlich ist und bei der man dann immer Doppelbrüche hat und furchtbares Herumgerechne und Umformen.
Nun hast du wenigstens bei einem Bruch keine Quotientenregel beim Ableiten mehr.

Aber wie MSS schon erwähnt hat. Das allerschnellste wäre gewesen, wenn du das nicht in 2 Brüche aufgeteilt hättest, sondern alles ausmultipliziert hättest und GLEICH Polynomdivision gemacht hättest und DAS dann abgeleitet hättest.

Und ehrlich gesagt, ich hätt alles ausmultipliziert, was gegangen wär und hätt dann halt einmal Quotientenregel angewandt.
Ohne Polynomdivision.

Aber du wolltest ja wissen, wie man das kürzen kann.
Das macht halt die Übung aus, dass man dann eben gleich erkennt, ob es Sinn macht, den Bruch getrennt aufzuschreiben oder ihn gleich so zu belassen und WAS man eben vereinfachen könnte, damit man beim nochmaligen Ableiten sich am leichtesten tut.

lg kiki
blackhoney Auf diesen Beitrag antworten »

tja, die übung hab ich leider nich und mach leider in wenigen wochen meine mündliche abiprüfung in mathe. Im prinzip kann ich alles, aber es gibt immer so kleine tücken.

wollte eigentlich nur kürzen, nicht für eine ableitung sondern einfach so. hat mich interessiert, wie man sowas macht.

auf jeden fall ist das forum gut, da es immer wieder so kleine dinge gibt, die man beachten muss.
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage:

In welchem Falle kann ich denn (nur) eine Polynomdivision machen, also was muss dafür gegeben sein?!



Gruss
Jan
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss im Zähler die gleiche höchste Potenz stehen oder eine höhere Potenz als die höchste Potenz des Nenners.

z.b.



oder z.b.



Man braucht das z.b. beim Integrieren, wenn man schwierige Substitutionen umgehen will, indem man eine Polynomdivision macht, dann erhält man einzelne Summanden und zum Schluß eben noch den Restbruch, der dann keine komplizierte Substitution mehr verlangt.

Oder auch, wenn man Nullstellen von Funktionen berechnen soll, die höheren Grades sind.
Da dividiert man die Funktion durch (x - einer gefundenen Lösung) durch, dann kommt man auf eine quadratische Gleichung, für die man die Lösungsformel kennt.

Oder du kannst dir binomische Formeln damit herleiten:

z.b.:

(a³ - b³) : (a - b) = a² + ab + b²

daher weiß man nun, dass:

a³ - b³ = (a - b) * (a² + ab + b²)

ist.

usw...

lg kiki
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