Intervallschachtelung ? |
| 03.04.2005, 13:02 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Intervallschachtelung ? Ich würde mich gerne etwas genauer mit der intervallschatelung beschäftigen. Zum Einstieg würde es mir sehr helfen, wenn mir jemand an einem Beispiel den Sinn/Zweck und Hintergrund dieses Gleichungslösungsverfahren erklären könnten. Besten Dank schonmal im Vorraus mercany |
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| 03.04.2005, 13:11 | babelfish | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also, ich versuchs mal... so haben wirs zumindest in der schule gelernt: bei der intervallschachtelung nähert man sich immer weiter seiner lösung an. hat man zb die gleichung 5^x = 279,508... dann versuchst du erst beliebige zahlen einzusetzen und auf die lösung zu kommen. so ungefähr: x = 1 : 5 x = 2 : 25 x = 3 : 125 x = 4 : 625 jetzt merkst du, dass 625 deine lösung schon bei weitem übersteigt! 125 ist aber noch zu niedrig, also muss die lösung irgendwo zwischen 3 und 4 liegen. jetzt setzt du wieder zahlen ein, aber dieses mal sind deine "intervalle" kleiner, du veränderst nämlich jetzt die zehntel. also: x = 3,1: 146,827... x = 3,2: 172,466... x = 3,3: 202,582... x = 3,4: 237,9567... x = 3,5: 279,508... jetzt hast du deine lösung herausgefunden, nämlich x=3,5 |
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| 03.04.2005, 13:16 | Frooke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nehmen wir an, Du sollst folgende Gleichung lösen: x^3-sin(x)=2 Das geht ja nicht ohne weiteres, deshalb formst Du um: x^3-2=sin(x) und untersuchst jeden Teil als Funktion selbst: Nun weisst Du, dass die Lösung irgendwo zwischen 1 und 1.5 ist. Du definierst also die Funktion: f(x)=x^3-sin(x)-2 und suchst dabei die Nullstelle. Nun setzt Du f(1) und f(1.5) und f(m). Dabei ist f(m) der Mittelwert der beiden Werte 1 und 1.5. Hat nun f(m) das gleiche Vorzeichen wie f(1), so ersetzt m die 1 und andernfalls die 1.5. Dann wurde das Intervall halbiert und dieser Schritt wird nun beliebig oft wiederholt... Gruß Frooke EDIT: @ babelfish: Sorry zu spät... |
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| 03.04.2005, 13:23 | babelfish | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
kein problem! dafür isses en einfallsreicheres beispiel! 
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| 03.04.2005, 13:46 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist mir irgendwie nicht ganz klar geworden. Kannst du es etwas genauer erklären, bitte! Gruss Jan
Okey, aber was mach ich jetzt, wenn ich z.B. x = 3,75689 habe. Dann würde das Annähren, bis ich auf dies Lösung für x komme, ja ziemlich lange dauern. Gruss Jan EDIT: Könnte ich bei 5^x = 279,508.... das Ganze nicht auch mit Loagarithmus berrechnen?!? edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS) |
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| 03.04.2005, 14:00 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es kann ja auch sein, dass x ein unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch ist, also x=3,4645314861298794553215186... und das hört nie auf! Dann müsste man unendlich lange schachteln. Aber das macht man natürlich nicht! Dann sagt man sich halt, mir reichen die ersten 5 Dezimalstellen nach dem Komma und hört auf, wenn man weiß, dass 3,46453<x<3,46454 ist und sagt dann ! Das kommt auch auf die Aufgabe an. Steht da z.B. die Aufgabe: "Berechne die Lösung x der Gleichung ... auf 4 Stellen nach dem Komma genau!" Dann hörst du halt auch auf, wenn du 7,3684<x<7,3685, weil dann weißt du die ersten vier Dezimalstellen und es ist . Es kommt also immer darauf an, wie genau man die Lösung/Zahl berechnen will/muss/soll. Und zum anderen: Natürlich geht das auch mit dem Logarithmus, aber das war ja nur ein Beispiel. Es gibt auch ganz andere Gleichungen, die man nicht mit Funktionen auflösen kann und dann kannst du z.B. Intervallschachtelung machen! |
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| 03.04.2005, 14:06 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okey.... Das ist soweit klar! Und wie steht das Ganze jetzt in Zusammenhang mit Polynomdivision? Weil Polynomdivision ist das eigentliche womit ich mich beschäftigen wollte und Intervallschachtelung war in einem Text den ich gelesen habe als Ausgangssituation beschrieben. Gruss Jan EDIT: Oder sollte ich dafür nen neuen Thread aufmachen??? EDIT 2 : Sorry, gerade gesehen, dass das in einem anderen Thread schon behandelt wird. |
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| 03.04.2005, 14:13 | Frooke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, ich nehm nochmals «mein» Beispiel: Wir haben ja folgende Funktion definiert (f(x)=x^3-sin(x)-2) von der wir eine Nullstelle suchen: Du weisst, dass die Lösung (ich nenn sie jetzt ?) irgendwo zwischen 1 und 1.5 ist, da dazwischen eine Nullstelle ist: Nun setzt rechnest Du f(1) und f(1.5) und f(1.25) aus. f(1)<0, f(1.25)<0, f(1)>0. Also weisst Du, dass die Nullstelle zwischen 1.25 und 1.5 ist! Also betrachtest Du nun dieses kleinere Intervall: f(1.25), f(1.5) und f(1.375). Und da f(1.25)<0 und f(1.375)<0, musst Du nun das Intervall [1.375;1.5] betrachten... Und einfach immer die Zahl, die das gleiche Vorzeichen ergeben hat wie der Mittelwert wird von ebendiesem ersetzt. Gruß |
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| 03.04.2005, 18:22 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okey, jetzt hab ichs! Danke für die Hilfe, und wenn ich nocht Verständnisprobleme habe, dann melde ich mich wieder. :-) |
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