Vollständige Induktion

28.09.2007, 15:48

hxh

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Vollständige Induktion

Das ist die Aufgabe

$\begin{eqnarray*} 1^{4} + 2^{4} + 3^{4}+...+ n^{4} = \frac{1}{30} n (n +1) (2n +1 )(3n²+3n -1) \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: Für n=1 ist die Aussage wahr

$\begin{eqnarray*} 1^{4} = \frac{1}{30} 1 (1 +1) (2*1 +1 )(3*1²+3*1 -1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{1}{30} *1 * (2)* (3)* (5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{1}{30} *30 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt: Es sei $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und man nimmt an, dass die Aussage für k gilt.

$\begin{eqnarray*} 1^{4} + 2^{4} + 3^{4}+...+ k^{4} = \frac{1}{30} k (k +1) (2k +1 )(3k²+3k -1) \end{eqnarray*}$

Damit muss gezeigt werden, dass auch

$\begin{eqnarray*} 1^{4} + 2^{4} + 3^{4}+...+ k^{4}+(k+1)^{4} = \frac{1}{30} (k+1) (k+1+1) (2(k+1) +1 )(3(k+1)²+3(k+1) -1) \end{eqnarray*}$
gilt.

Dies ergibt sich aus:
$\begin{eqnarray*} 1^{4} + 2^{4} + 3^{4}+...+ k^{4}+(k+1)^{4} = \frac{1}{30} k (k +1) (2k +1 )(3k²+3k -1) + (k+1)^{4} \end{eqnarray*}$

Soweit is ja alles klar ich frag mich nur ob ich die 2 langen terme ausmultiplizieren muss, damit ich zeige, dass sie gleich sind oder gibts da ne elegantere Möglichkeit, ich sehe da nicht wie ich das machen könnte.

28.09.2007, 15:52

mYthos

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Setze beim Ind. Anfang n = 1, nicht 0!
Für n = 1 stimmt die Formel schon nicht.

EDIT:

Aha, du hast die anfangs falsche Angabe nachträglich editiert ...

mY+

28.09.2007, 15:53

hxh

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Zitat:

Original von mYthos
Setze beim Ind. Anfang n = 1, nicht 0!
Für n = 1 stimmt die Formel schon nicht.

mY+

doch sie stimmt für n = 1 habs auch nochmal mit n=1 geschrieben (aufn blatt)

^^ ne hab an den zahlen nix mehr editiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

nichts desto trotz kann man da was anderes ausser ausmultiplizieren dann machen ?

28.09.2007, 15:56

mYthos

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JA, (erst) nach deinem Edit stimmt's jetzt. Nimm aber - wie gesagt - dennoch n = 1, üblicherweise gelten solche Formeln für natürliche n ohne Null.

mY+

EDIT:

Links musst du noch die ersten k Summanden auch noch durch deine Formel (für n = k) ersetzen.
Auf den ersten Blick ist zu sehen, dass dann (k + 1) ausgeklammert werden kann!

Rot: Sorry, war Schreibfehler, editiert!

28.09.2007, 16:08

hxh

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Zitat:

Original von mYthos

EDIT:

Links musst du noch die ersten k Summanden auch noch durch deine Formel (für n = k) ersetzen.
Auf den ersten Blick ist zu sehen, dass dann (k - 1) ausgeklammert werden kann!

Wo meinste links ?
Ich schau mir das mal an mit (k-1) ausklammern, ist halt ein unangenehmer term

28.09.2007, 16:24

mYthos

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RE: Vollständige Induktion
Die beiden Terme, die gleich sein sollen, kannst du auf zwei verschiedene Seiten, getrennt durch =, schreiben. Zu zeigen ist, dass dies eine Identität bzw. wahre Aussage darstellt. Im Weiteren darf man also Äquivalenzumformungen machen, z.B. mit 30 multiplizieren und durch (k + 1) ungleich Null dividieren.

Auf der linken Seite sind nun die k Summanden durch die Formel zu ersetzen, und auf der rechten Seite statt n -> k+1 einzusetzen:

-----------------

$\begin{eqnarray*} 1^{4} + 2^{4} + 3^{4}+...+ n^{4} = \frac{1}{30} n (n +1) (2n +1 )(3n^2+3n -1) \end{eqnarray*}$

-----------------

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{30} k (k+1) (2k +1 )(3k^2+3k -1)+(k+1)^{4} = \frac{1}{30} (k+1) (k+1+1) (2(k+1) +1 )(3(k+1)^2+3(k+1) -1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{30} k (k +1) (2k +1 )(3k^2+3k -1)+(k+1)^{4} = \frac{1}{30} (k+1) (k+2) (2k+3 )(3k^2+9k+5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Siehst du jetzt das mit (k+1)? (Sorry, k-1 war ein Schreibfehler!) Bleibt nach der Division zwar auch noch harsch, aber spürbar einfacher. Das Ausmultiplizieren beidseits zeigt sehr bald eine Identität.

mY+

P.S.: Schreibe bitte in LaTex auch die Quadrate mittels ^2

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28.09.2007, 18:05

hxh

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Ja das sieht man da. Muss man halt danach immer noch ausmultiplizieren. Es ging mir darum ob man vielleicht durch umformungen sich das ausmultiplizieren sparen kann, aber hier muss man wohl durch.

28.09.2007, 18:08

AD

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Ein genereller Tipp: Beim Beweis von Summenformeln der Struktur

$\begin{eqnarray*} S(k) = \sum_{j=1}^k A(j) \end{eqnarray*}$

mit entsprechenden Termen $\begin{eqnarray*} A(j),S(j) \end{eqnarray*}$ durch Vollständige Induktion ist vom Schreibaufwand her der Induktionsschluss $\begin{eqnarray*} (k-1)\to k \end{eqnarray*}$ dem üblicherweise in der Schule gelehrten $\begin{eqnarray*} k\to (k+1) \end{eqnarray*}$ vorzuziehen.

Außerdem:

Nachzuweisen ist dann im Induktionsschluss $\begin{eqnarray*} S(k)=S(k-1)+A(k) \end{eqnarray*}$ . Äquivalent dazu ist der Nachweis von $\begin{eqnarray*} S(k)-S(k-1) = A(k) \end{eqnarray*}$ , einfach durch Umstellung. Also knöpft man sich doch passenderweise die Differenz $\begin{eqnarray*} S(k)-S(k-1) \end{eqnarray*}$ vor und vereinfacht die, bis man tatsächlich zum Summandenterm $\begin{eqnarray*} A(k) \end{eqnarray*}$ gelangt - dann ist der Induktionsschluss erbracht!

Im vorliegenden Fall von $\begin{eqnarray*} S(k) = \frac{1}{30} k(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1) \end{eqnarray*}$ geht das also so los:

$\begin{eqnarray*} S(k)-S(k-1) = \frac{1}{30} k(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1) - \frac{1}{30} (k-1)k(2k-1)(3k^2-3k-1) = \cdots \end{eqnarray*}$

Das ist etwas nervenschonender als das mühsame Zusammenbasteln von $\begin{eqnarray*} S(k+1) \end{eqnarray*}$ auf dem üblichen Schulweg.

28.09.2007, 18:56

hxh

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@ Arthur Dent

Diese Methode ist natürlich etwas eleganter und schneller. Dennoch bleibt einem das Ausmultiplizieren nicht erspart oder seh ich da was falsch?

28.09.2007, 19:04

AD

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Kommt auf das Geschick bei Termumformungen an. Zunächst mal kann man $\begin{eqnarray*} \frac{k}{30} \end{eqnarray*}$ ausklammern und schon mal teilweise $\begin{eqnarray*} (k+1)(2k+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (k-1)(2k-1) \end{eqnarray*}$ ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} S(k)-S(k-1) = \frac{k}{30} \Big[ (2k^2+1+3k)(3k^2-1+3k) - (2k^2+1-3k)(3k^2-1-3k) \Big] \end{eqnarray*}$ .

Die kleine Umsortierung in den Termen kommt nicht von ungefähr: Wenn man die Nebenrechnung

$\begin{eqnarray*} (x+a)(y+a)-(x-a)(y-a) = (xy+xa+ay+a^2) - (xy-xa-ay+a^2) = 2a(x+y) \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} x=2k^2+1,y=3k^2-1,a=3k \end{eqnarray*}$ anwendet, kommt man rascher zum Ziel.

28.09.2007, 19:11

hxh

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Ok habs verstanden.
Muss man eben gut Umformen können um sich Ausmultiplizieren im großen Stile ersparen zu können.
Danke Freude

Freude

Wink

28.09.2007, 19:14

AD

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Nichtsdestotrotz ist vollständiges Ausmultiplizieren eine sichere Bank - wenn man keine Fehler dabei macht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.09.2007, 18:56

mYthos

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Na ich weiss nicht, ob das Suchen nach Alternativen nicht mehr Zeit erfordert ... als das Ganze ganz banal ausmultiplizieren, erfordert nur die restlichen 2 Zeilen:

(Arthur, du sagts es!)

L.S.:

$\begin{eqnarray*} k(2k+1)(3k^2+3k-1)+30(k+1)^3=(3k^2+3k-1)(2k^2+k) + 30(k^3+3k^2+3k+1) = 6k^4+39k^3+91k^2+89k+30 \end{eqnarray*}$

R.S.:

$\begin{eqnarray*} (k+2)(2k+3)(3k^2+9k+5)=(2k^2+7k+6)(3k^2+9k+5) = 6k^4+39k^3+91k^2+89k+30 \end{eqnarray*}$

Aus Maus Big Laugh

Big Laugh

mY+

29.09.2007, 18:59

hxh

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Ja klar ausmultiplizieren ist der sichere Weg.
Der andere ist einfach sehr elegant smile

smile

29.09.2007, 19:19

mYthos

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Elegant und auch unbedingt ratsam war ja die Division durch (k + 1) beiderseits. Dadurch ist ja auch die Multiplikation einfacher geworden.

mY+

29.09.2007, 19:23

hxh

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Zitat:

Original von mYthos
Elegant und auch unbedingt ratsam war ja die Division durch (k + 1) beiderseits. Dadurch ist ja auch die Multiplikation einfacher geworden.

mY+

Ja Mythos das is in der Tat so gewesen Gott

Gott

Gott

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