Gruppenordnung

03.04.2005, 16:07

The_Lion

Gruppenordnung

Hi.
Komme bei einer Aufgabe wieder nicht vernünftig weiter.
Die Aufgabenstellung:

Sei G abelsche Gruppe. U=<a> ist zyklische Untergruppe von G mit |U|= 3.
V = <b> ist zyklische Untergruppe von G mit |V| = 4.
Welche Ordnung hat $\begin{eqnarray*} a^2b \in G \end{eqnarray*}$
"<a>" bedeutet erzeugt von a

Mein Ansatz:

U = <a> = $\begin{eqnarray*} \{e, a, a,a^2\} \ ,a^3=e \end{eqnarray*}$
V = <b> = $\begin{eqnarray*} \{e,b,b^2,b^3\} \,b^4=e \end{eqnarray*}$

Wie mache ich weiter?

edit: kgV(2,3) = 6 also hat $\begin{eqnarray*} ord(a^2) = 6 \end{eqnarray*}$ ." ord" bedeutet "Ordnung".
ord(b) = 4.
4*6 = 24

ist das der falsche Weg ?

Danke.

03.04.2005, 16:22

Tobias

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Wieso denn kgV von 2 und 3? Ich würde viel ehere kgV(3,4) vorschlagen.

Du musst ja ein k finden, so dass

$\begin{eqnarray*} (a^2b)^k = a^{2k}b^k = e \end{eqnarray*}$

Die Bedingungen hierfür sind:

$\begin{eqnarray*} 3 \; | \; 2k \text{ und } 4 \; | \; k \end{eqnarray*}$

Demnach ist 12 die kleinste Zahl, die das erfüllt.

03.04.2005, 16:56

Anirahtak

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RE: Gruppenordnung
Hallo,

Zitat:

Original von The_Lion
edit: kgV(2,3) = 6 also hat $\begin{eqnarray*} ord(a^2) = 6 \end{eqnarray*}$ .

diese Aussage kann doch gar nicht stimmen. Wie kann eine Gruppe der Ordnung 3 ein Element mit Ordnung 6 enthalten?

Gruß
Anirahtak

03.04.2005, 17:03

The_Lion

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@anirahtak:
ich hab mich glaub ich vertan: ich meinte wohl ord(a^2) = 3 , die 6, dabei dachte ich an a^6 = e

03.04.2005, 17:05

Anirahtak

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Ach so.
Und der Rest ist auch klar?

Gruß
Anirahtak

03.04.2005, 17:18

The_Lion

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ich werd später vielleicht nochmal darauf zurückgreifen. Zur Zeit mache ich andere Aufgaben.

07.04.2005, 01:03

The_Lion

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$\begin{eqnarray*} ord(a^2) = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ord (b) = 4 \end{eqnarray*}$

kgV(3,4) = 12.

Also ist die Ordnung von $\begin{eqnarray*} a^2b \end{eqnarray*}$ 12 ? So einfach?

07.04.2005, 01:07

Tobias

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07.04.2005, 01:22

The_Lion

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ich hab noch eine Frage. Da gab es so ne Aufgabe. Da waren 2 Untergruppen gegeben wenn ich mich richtig erinnere. Ich weiß nicht mehr, ob es wieder zyklische waren, aber der Schnitt beider Untergruppen bestand nur aus dem neutralen Element e .

Wann genau ist das der Fall ? Wenn die Gruppen aus völlig verschiedenen Elementen erzeugt werden, die dann auch immer verschiedene Ergebnisse haben oder ist das auch noch anders möglich ?

07.04.2005, 01:41

Tobias

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Ich weiß nicht genau, was du mit "völlig verschiedene Elemente" meinst. Aber zwei Untergruppen haben auf jeden Fall denselben "Typ" von Elementen, denn sie haben die gleiche Obermenge.

Es ist schwierig hierfür eine allgemeine Gesetzmäßigkeit zu erkennen außer die triviale, dass die Mengen der Untergruppen eben keine Elemente bis auf das neutrale Element gemeinsam haben.

Eine Möglichkeit ist es z.B., dass die Gruppen auf disjunkten Gebieten der Element operieren. z.B. könnte man sich die Grupper der Permutationen vorstellen, die nur 1,2,3 miteinander vertauschen während die andere Untergruppe 4,5,6 vertauscht.

Je nach Art der Gruppe können natürlich auch andere Kriterien zur geltung kommen, die ähnlich Auswirkungen haben. z.B. die Erzeugnisse von teilerfremden Zahlen etc.

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