aufgaben mit vektoren... :'(

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Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »
aufgaben mit vektoren... :'(
hallo,

ich bin kurz vor einem heulkrampf. ich schreibe dienstag eine mathe-klausur über vektoren und habe so ziemlich keine ahung von dem thema bzw. ich verstehe vieles nicht. wir haben übungsaufgaben gekriegt, eine klausur von 1998, aber ich bin schon mit aufgabe 1a überfordert:

In einem kartesischen KO-System sind die punkte A(3|-3|0), B(2|0|8) und C(2|-2|4) und für jedes die gerade
die ebene E enthält die punkte A, B, C.

bestimmen sie die die koordinatengleichung von E und die schnittpunkte von E mit den koordinatenachsen. unter welchem winkel schneidet die x1-Achse? für welchen wert von t verläuft die gerade parallel zu E? für welchen wert von t schneidet die gerade die Ebene senkrecht?

so, aber erst der reihe nach: wie bestimmt man die koordinatengleichung einer ebene?
und überhaupt, wenn ich wüsste, wie man zwischen punktrichtungsform, koordinatenform und normalform wechselt, wre ich schon ein ganzes stück weiter, glaube ich....
bin für jeden ansatz dankbar!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: aufgaben mit vektoren... :'(
Zitat:
Original von Millhouse
so, aber erst der reihe nach: wie bestimmt man die koordinatengleichung einer ebene?


Die geeignete Methode hängt von deinen Vorkenntnissen ab. Je nachdem, kann das eine leichte oder schwere Aufgabe sein.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: aufgaben mit vektoren... :'(
Lies mal das durch. Das gibt dir vielleicht mal einen ersten Eindruck, was eine Ebene und was eine Gerade ist und was ein Vektor ist.

lg kiki

Die Tischplatte ist eine Ebene (du musst dir nur vorstellen, dass die Tischplatte sich durchs ganze Universum zieht) und ein Tischbein ist der Normalvektor der Ebene, weil das Tischbein ja im rechten Winkel auf die Tischplatte steht.
Nun kippe ich den Tisch ein bisserl. Dann hast du eine ganz neue Lage der Tischplatte ( also eine ganz andere Ebene) und dein Tischbein hat nun eine ganz andere Richtung.

Wenn ich den Tisch wegräume und du nie gesehen hast, wie ich den gekippt gehalten hab, was muss ich dir nun bekannt geben, damit du die genau gleiche Lage des gekippten Tisches nachbauen kannst?

Ich muss dir einen Punkt zeigen, der auf der Tischplatte drauf war - denn sonst weißt ja nicht, wo ich den im Wohnzimmer stehen gehabt hab. Und ich muss 2 Bleistifte genau so an den Punkt halten, damit du auf diese 2 Bleistifte die Tischplatte drauf legen kannst. Somit weißt dann GENAU, in welcher Lage die Tischplatte war und wo sie sich im Wohnzimmer befunden hat.
Die 2 Bleistifte sind die Richtungsvektoren der Ebene.
Hätte ich dir nur einen Bleistift gegeben, dann hättest du die Tischplatte nicht eindeutig drauf legen können.
Daher braucht man 2 Richtungsvektoren, um die Lage einer Ebene zu bestimmen.

Wenn du nun diese 2 Richtungsvektoren miteinander kreuzt, also Kreuzprodukt machst, so erhältst du die Richtung des Tischbeins, also den Normalvektor der Ebene.

Denn es hätte auch genügt, wenn ich dir einen Punkt der Tischplatte gegeben hätte und ein Tischbein dran gehalten hätte, sodass du oben die Tischplatte genau im rechten Winkel dran halten kannst.

Daher würd es reichen, wenn ich dir einen Punkt bekannt gebe und den Normalvektor der Ebene.(= Tischbein), damit du den Tisch genau in der gleichen Lage, wie ich ihn gekippt gehalten hab, nachbauen kannst.

Daher gibts nun 2 Möglichkeiten, wie ich eine Ebene bekannt geben kann.

X = Punkt + t * Richtungsvektor1 + u * Richtungsvektor2

oder:

Du machst Kreuzprodukt deiner 2 Richtungsvektoren, dann hast den Normalvektor der Ebene und setzt in diese Formel ein:

Normalvektor * X = Normalvektor * Punkt


Noch was:

Ein Tisch hat ja 4 Tischbeine und jedes hat dieselbe Richtung. Also ist jedes Tischbein ein und derselbe Normalvektor.

Ein Vektor ist nicht fixiert im Raum. Du kannst das Tischbein in die Hand nehmen und in den Punkt hineinversetzen, in den DU ihn versetzen willst. Aber wenn du das Tischbein versetzt, dann immer mit der gleichen Richtung und Länge.

Das heißt:

4 Tischbeine = 1 Normalvektor der Ebene, weil alle 4 Tischbeine ja in dieselbe Richtung zeigen.

Einheitsvektor:
Der Einheitsvektor hat die Länge 1.
Den braucht man dazu, um den Vektor so lang zu machen, wie man ihn haben will, ohne seine Richtung zu verändern.
Das heißt, du schneidest z.b. dein Tischbein so ab, dass es nur noch 1 cm lang ist, aber noch genau in die Richtung zeigt.

Wenn du den Vektor ( 2 / 2 / 1 ) hast, dann ist der ja 3 cm lang. Wenn du nun haben willst, dass der nur noch 1 cm lang ist, dann musst du jede Koordinate durch 3 dividieren.

Daher ist nun der Einheitsvektor: ( 2/3 // 2/3 // 1/3)

Und wenn du haben willst, dass der nun z.b. 18 cm lang sein soll, dann multiplizierst jede Koordinate mit 18. Dann hast die komplett gleiche Richtung, aber der Vektor ist 18 cm lang.

Denn, wenn du einen Punkt berechnen willst, dann gilt:

Punkte berechnen:

1. Möglichkeit:

Gesuchter Punkt = gegebener Punkt + Vektor(vom gegebenen Punkt zum gesuchten Punkt)

2. Möglichkeit:

2 Geraden miteinander schneiden, oder eine Ebene mit einer Geraden schneiden oder 3 Ebenen miteinander schneiden.

Die Geradengleichung:

kann man NUR in Parameterform angeben.
Und die ist dazu da, dass man sich jeden beliebigen Punkt X(x/y/z), der auf der Gerade oben liegt, berechnet.
Die Gerade kannst dir vorstellen wie einen Bleistift, den du in einer ganz bestimmten Lage in die Luft hältst. Diese Lage darfst nicht verändern, denn die Gerade ist fixiert im Koordinatensystem. Zum Unterschied zu einem Vektor, der ja auch wie ein Bleistift ist, bloß kannst den Bleistift dorthin versetzen, wohin du willst.
Was muss ich dir von einer Gerade sagen, damit du sie im Raum nachbauen kannst?
Ich muss dir einen Punkt sagen, durch den sie geht UND ich muss einen VEktor in diesen Punkt hinein halten, damit du die Richtung der Gerade weißt.
Daher ist nun die Geradengleichung:

X = gegebener Punkt + t * Richtungsvektor

und die besagt übersetzt:

Zu einem beliebigen Punkt X(x/y/z) komme ich, wenn ich von einem Punkt der Gerade, den ich kenne, soundsooft mal (= t-mal) den Richtungsvektor auftrage.

Das heißt, wenn du für t=3 in die Geradengleichung einsetzt, dann machst du faktisch folgendes:

Du setzt 3mal hintereinander den Richtungsvektor in deinen gegebenen Punkt der Gerade hinein und erhältst dann DEN Punkt, der an der Spitze des letzten Pfeils dran liegt.

Hoff, das war mal ein 1. Eindruck...

lg kiki
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

also danke für die antworten.
@kiki ja ich denke das habe ich jetzt soweit verstanden. mein problem ist nur, damit zu rechnen, weil ich nicht weiß, über welche methode man an was kommt.

@leopold
also ich habe hier die lösung vorliegen, aber ich verstehe beim besten willen nicht, wie man dahin kommt. es wird zunächst die parametergleichung aufgestellt, ich denke die habe ich jetzt soweit verstanden, aber dann kommt etwas mit elimination von s und t, und eliminiation haben wir ganz bestimmt noch nicht gemacht... gibt es da nicht noch eine andere möglichkeit?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Du kennst das Additionsverfahren nicht?

z.b.

1. 2x - 3y = 4 | *(2)
2. -4x + y = 5
__________________

1. 4x - 6y = 8
2. -4x + y = 5

_________________

5y = 13 [ denn nun hab ich das x eliminiert, denn es fällt weg!)
y = 13/5

Bei Gleichungen mit 2 Unbekannten ( in deinem Fall s und t) kann man eine Unbekannte eliminieren, FALLS beide Gleichungen die gleichen Potenzen der Unbekannten haben.

lg kiki

edit:

Bau doch mal das, was du berechnen sollst, mit Blatt und Bleistift nach und dann frag dich, was du von deinem Blatt kennen musst und wie du das kriegst.

Da oben hab ich erklärt, was man von einer Ebene braucht und wie man sie aufstellt. Mehr kann man dazu nicht sagen, denn bei der Vektorenrechnung wirst du immer scheitern, wenn du dir nicht eine gute Skizze machen kannst oder das ganze in der Luft nachbauen kannst, sodass du siehst, welche Dinge du brauchst, damit du dir eine Ebenengleichung oder eine Geradengleichung aufstellen kannst.
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

hm... also die parametergleichung sieht so aus:



also müsste ich jetzt das hier mit dem additionsverfahren lösen?`

x = 3 - s - t
y = -3 + 3s + t
z = 8s + 4

was genau muss ich denn jetz hier rechnen? ich versteh wirklich nicht worauf das hinaus laufen soll :'(
 
 
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn gefragt?
Und ja, das ist die Ebene in Parameterform, denn s und t sind ja deine Parameter.

Die Koordinatenform ist aber das, was ich dir in meinem 1. Post geschrieben hab:

Normalvektor * X = Normalvektor * P

Also wirst zuerst mal deine Ebene in Koordinatenform aufschreiben müssen.

Und dann überlegen müssen, WAS in der Angabe steht, was du tun sollst.

lg kiki

edit:

Lies dir vielleicht noch mal genau durch, was ich in meinem 1. Post geschrieben habe - wozu die Ebenengleichung und die Geradengleichung überhaupt da sind.
Und wie man sich die aufstellt.
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

aber das ist ja mein problem: ich weiß bzw. verstehe nicht, wie ich an die koordinatenform komme... was ist der normalvektor? wie komme ich an den?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kopier dir nochmal einen Teil aus meinem 1. Post.

Vielleicht liest du dir NUN meinen obigen Post nochmal durch, denn dann erübrigt sich die Frage, was der Normalvektor ist und wie man den berechnet.

Zitat:

Daher gibts nun 2 Möglichkeiten, wie ich eine Ebene bekannt geben kann.

X = Punkt + t * Richtungsvektor1 + u * Richtungsvektor2

oder:

Du machst Kreuzprodukt deiner 2 Richtungsvektoren, dann hast den Normalvektor der Ebene und setzt in diese Formel ein:

Normalvektor * X = Normalvektor * Punkt


lg kiki
bounce Auf diesen Beitrag antworten »

hey also von parameter zur koordinatenform kommt man ganz einfach ^^ indem du das kreuzprodukt berechnest dann hast nen normalenvektor dann kannst du mit diesen und den stützvektor der ebene die normalenform aufstellen und von da aus die koordinatenform ja ich find das einfacher als mit LGS aber muss jeder selbst wissen wie man besser zurecht kommt

gruss bounce fragen ??

edit: upps hätte doch mal kikis langen text überfleigen sollen smile nagut ist das selbe was ich geschrieben habe

cya
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

caramba.... was ist ein kreuzprodukt???
bounce Auf diesen Beitrag antworten »

hier guckst du ^^ http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

alter vatter.... gibts das irgendwie auch auf deutsch...?
...ich gebs auf, das ist echt irgendwie zu hoch für mich, obwohl ja eigentlich vom prinzip ziemlich simpel ist.... :/
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