Basis des Kerns (Uni)

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03.04.2005, 17:08	Smarti	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis des Kerns (Uni) Hi, ich habe folgendes Problem. Und zwar soll ich von folgender Darstellender Matrix den Kern berechnen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also löse ich es mit Gauß auf: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So..nun stehe ich da und weiss keinen Schritt weiter...für einen Tip wäre ich sehr dankbar
03.04.2005, 17:14	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kern der Matrix ist die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Linearen Gleichungssystems. Demnach musst du also die Lösungsmenge zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bestimmen.
04.04.2005, 00:08	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
und das am schnelsten mit dem -1-trick guggst du hier mfg jochen
04.04.2005, 00:12	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
cooler trick, nur wie verhält es sich, wenn die Matrix nicht quadratisch ist? Insbesondere könnte man ja ne Spaltenvertauschung machen und hätte eine Einheitsmatrix mit zwei zusätzlichen Spaltenvektoren.
04.04.2005, 00:19	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
guggst du bei dem link ganz unten, dass geht auch bei nichtquadratischen. (habe ich damals für seimon durchdacht) und spaltenumformungen beim gaussalgorithmus??!
04.04.2005, 00:22	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Spaltenvertauschung. Man kann doch x_3 gegen x_4 tauschen mit den zugehörigen Spalten der Matrix.
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04.04.2005, 00:28	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ja hihi, letzte ncht 4 stunden geschlafen und jetzt noch wach und da muss ich direkt papier und stift holen.... du musst natürlich vorher zu einer quadratischen matrix ergänzen... erinner und dazu nullzeilen an die richtigen stellen, je nach trepen-einsern. hier 3. und 5. zeile werden als nullzeilen eingschoben. löst das unsere problematik mit dem (natürlich erlaubten) tauschen der komponenten (wenn man das später zurückändert)? dann gibt es nämlich natürlich auch mit -1-trick nur einen 2dimensionalen kern..... mfg jochen
04.04.2005, 22:02	Smarti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok Problem erkannt und gelöst, habe beide Lösungswege nun verstanden. Nun ein kleines weiteres Problem (ich schreiben morgen Semesterklausur ): Oben die DM...ich soll die Basis des Bildes berechnen. Wie muss ich das angehen? Danke für die Hilfe
04.04.2005, 22:07	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Basis des Bildes ist die Basis des Spaltenraumes der Matrix. D.h. man nehme die Spalten der Matrix und eliminiert soviele l.a. Spalten, bis man nur noch l.u. hat. Das ist dann die Basis des Bildes.
04.04.2005, 22:15	Smarti	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis des Kerns (Uni) Okidoki, also nochmal die DM: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gauß $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so, nun haue ich Spalte 3 und 5 Raus..richtig..also habe ich als die Einheitsmatrix des R^3 Basis des Bildes, oder? $\begin{eqnarray} L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ edit: Wäre nett wenn mir jemand bis morgen noch sagen könnte, ob das stimmt

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