Wahrscheinlichkeitsfunktionen

03.04.2005, 19:26	Poldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsfunktionen Hallo Ihr Lieben, kann mir jemand hierbei helfen?: Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} P(A) = \frac{1}{4} \delta_a(A) + \frac{3}{4} \delta_b(A) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -additiv ist, wobei $\begin{eqnarray} \delta_a(A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \delta_b(A) \end{eqnarray}$ die Punkt-Wahrscheinlichkeits-Maße in a und b sind, mit $\begin{eqnarray} a,b \in \Omega, a \neq b \end{eqnarray}$ und A Teilmenge von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ Hier erstmal mein eigener - magerer - Ansatz: $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -additiv bedeutet, ich muss zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n \in \mathbb N}~P(A_n) = P(\sum_{n \in \mathbb N}~A_n) \end{eqnarray}$ ist. Die linke Seite kann ich auch schreiben als: $\begin{eqnarray} \sum_{n \in \mathbb N}~\frac{1}{4} \delta_a(A) + \frac{3}{4} \delta_b(A) \end{eqnarray}$ . Aber wie kann ich die rechte Seite anders schreiben? Ich weiß gar nicht, wie das aussehen soll, wohin ich die linke Seite überführen muss. Vermutlich muss ich ja auch die Vorschrift $\begin{eqnarray} \delta_a(A) = 1 \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \delta_a(A) = 0 \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} a \notin A \end{eqnarray}$ und die analoge Vorschrift für $\begin{eqnarray} \delta_b(A) \end{eqnarray}$ benutzten, aber ich weiß beim besten Willen nicht wie!!! Für Tipps aller Art bin ich sehr dankbar! Gruß Poldi
03.04.2005, 19:43	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsfunktionen Hallo Poldi, $\begin{eqnarray} P(\bigcup_{n \in \mathbb N}~A_n) = \frac{1}{4} \delta_a(\sum_{n \in \mathbb N}~A_n) + \frac{3}{4} \delta_b(\sum_{n \in \mathbb N}~A_n) \end{eqnarray}$ von dem Dirac- bzw. Punktmaß weiß du doch schon, dass es ein Wktsmaß, also sigmaadditiv ist. Gruß Anirahtak
04.04.2005, 14:21	Poldi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsfunktionen Mal sehen, ob ich das richtig verstanden habe: $\begin{eqnarray} \sum_{n \in \mathbb N}~(\frac{1}{4} \delta_a(A_n) + \frac{3}{4} \delta_b(A_n)) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{n \in \mathbb N}~\frac{1}{4} \delta_a(A_n) + \sum_{n \in \mathbb N}~\frac{3}{4} \delta_b(A_n) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}\delta_a \sum_{n \in \mathbb N}~(A_n) + \frac{3}{4} \delta_b \sum_{n \in \mathbb N}~(A_n) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} P(\sum_{n \in \mathbb N}~A_n) \end{eqnarray}$ Dabei gilt das zweite " = ", weil $\begin{eqnarray} \delta_a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \delta_b \end{eqnarray}$ Punkt-W-Maße und damit sigma-additiv sind. Richtig??? Allerdings bin ich etwas irritiert über das $\begin{eqnarray} \bigcup \end{eqnarray}$ bei Dir. Wieso denn nicht $\begin{eqnarray} \sum \end{eqnarray}$ ?
04.04.2005, 14:26	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, so würde ich auch argumentieren. Was ist denn für dich die "Summe" von Mengen/Ereignissen - ist damit nicht die Vereinigung gemeint? Gruß Anirahtak
04.04.2005, 14:45	Poldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Gott, Du bist aber schnell! Also nach meinem Verständnis ist das schon dasselbe, aber ich dachte, dass es bestimmt einen - mir unbekannten - Unterschied gibt und dass Du einen bestimmten Grund gehabt hättest, hier auf einmal das Zeichen zu wechseln. Kann man die Zeichen also im Falle von Mengen beliebig austauschen??? Gruß Poldi

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