Faltung von zwei Funktionen

03.04.2005, 20:15	Thorsten01	Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung von zwei Funktionen Ich komm grad bei dieser Aufgabe nicht weiter. $\begin{eqnarray} \LARGE f_1(t)=\left\{ {1\text{ ,t aus [0,2]}\atop{0}\text{ ,t nicht aus [0,2]}}\right. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_2(t)=t \end{eqnarray}$ ,mit $\begin{eqnarray} f_1,f_2:[0,\infty) -> R \end{eqnarray}$ Berechnen Sie die Faltung $\begin{eqnarray} f_1f_2 \end{eqnarray}$ Als Ansatz hab ich: $\begin{eqnarray} f_1f_2 =\int\limits_{0}^t f_1(t-\tau)f_2(\tau)d\tau \end{eqnarray}$ Leider weiß ich grad nicht weiter. Was war nochmal tau? Könnte mir jemand evtl nen Schubs in die richtige Richtung geben
03.04.2005, 20:46	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn deine Formel stimmt, dann hat das tau keine besondere Bedeutung und du kannst das auch so schreiben: $\begin{eqnarray} f_1\cdot f_2 =\int\limits_{0}^t~f_1(t-x)f_2(x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Nun alles klar?
03.04.2005, 21:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Faltung ist ja kommutativ. Geschickter ist es, so zu rechnen: $\begin{eqnarray} (f_1 \star f_2)(t) \ = \ \int_0^t~f_1(\tau) \cdot f_2(t-\tau)~\mathrm{d}\tau \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ ist hier die Integrationsvariable und kann durch jede andere noch nicht verbrauchte Variable ersetzt werden (z.B. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ wie bei MSS). Und jetzt führe eine Fallunterscheidung durch: 1. Fall: $\begin{eqnarray} 0 \leq t \leq 2 \end{eqnarray}$ 2. Fall: $\begin{eqnarray} t > 2 \end{eqnarray}$ Zerlege im zweiten Fall das Integrationsintervall $\begin{eqnarray} [0,t] \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} [0,2] \cup [2,t] \end{eqnarray}$ . Zur Kontrolle hier das Ergebnis: $\begin{eqnarray} (f_1 \star f_2)(t) \ = \ \begin{cases} \frac{1}{2} \, t^2 \, & \text{falls } 0 \leq t \leq 2 \\ 2t - 2 \, & \text{falls } t>2 \end{cases} \end{eqnarray}$
04.04.2005, 12:41	Thorsten01	Auf diesen Beitrag antworten »
ok,irgendwas hab ich noch nicht ganz verstanden. ich krieg doch dann $\begin{eqnarray} [tu-1/2\cdot u^2] \end{eqnarray}$ (u als Integrationsvariable) wenn ich jetzt den 1.Fall nehme $\begin{eqnarray} 0\leq t\leq 2 \end{eqnarray}$ ,also doch als Grenzen 0 bis 2 habe,komme ich auf $\begin{eqnarray} 2t-2 \end{eqnarray}$ und im 2.Fall mit den Grenzen 2 bis t auf $\begin{eqnarray} 1/2\cdot t^2 \end{eqnarray}$ Also genau andersrum als in deiner Lösung. Wo hab ich noch den Fehler drin?
04.04.2005, 13:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir einmal den Fall $\begin{eqnarray} 0 \leq t \leq 2 \end{eqnarray}$ . Dann gilt für das Integrationsintervall $\begin{eqnarray} [0,t] \subseteq [0,2] \end{eqnarray}$ . Damit nimmt $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ aus dem Integrationsintervall den Wert 1 an. $\begin{eqnarray} (f_1 \star f_2)(t) \ = \ \int_0^t~f_1(\tau) \cdot f_2(t-\tau)~\mathrm{d}\tau \ = \ \int_0^t~1 \cdot (t-\tau)~\mathrm{d}\tau \ = \ - \left. \frac{1}{2} \left( t-\tau \right)^2 \right\|_{\tau = 0}^{\tau = t} \ = \ \frac{1}{2} \, t^2 \end{eqnarray}$
04.04.2005, 14:52	Thorsten01	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hätt ich also bei $\begin{eqnarray} t>2 \end{eqnarray}$ das Integrationsintervall $\begin{eqnarray} [2,t] \end{eqnarray}$ .In dem Intervall existiert f1 nicht und ich hätte somit: $\begin{eqnarray} \int_0^t~f_2(t-\tau)d\tau = -\frac{1}{2}(t-\tau)^2\|_{2}^{t} = -\frac{t^2}{2} + 2t - 2 \end{eqnarray}$ Durch die Vereinigung mit $\begin{eqnarray} [0,2] \end{eqnarray}$ ,weil ich ja über $\begin{eqnarray} [0,t] \end{eqnarray}$ intergriere,kommt dann noch ein $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}t^2 \end{eqnarray}$ dazu und ich hätte $\begin{eqnarray} 2t-2 \end{eqnarray}$ Soweit richtig?
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04.04.2005, 17:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Integrationsintervall ist immer $\begin{eqnarray} [0,t] \end{eqnarray}$ , einfach, weil das so am Integral (obere/untere Grenze) steht. Das Problem bei der Sache ist, daß $\begin{eqnarray} f_1(\tau) \end{eqnarray}$ eine andere Bedeutung hat, wenn $\begin{eqnarray} \tau>2 \end{eqnarray}$ ist, nämlich einfach nur noch $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist. Verwende also die Intervalladditivität des Integrals: $\begin{eqnarray} \int_0^t~~\dots \ = \ \int_0^2~~\dots \ + \ \int_2^t~~\dots \end{eqnarray}$ Und setze auf jedem Teilintervall die Bedeutung von $\begin{eqnarray} f_1(\tau) \end{eqnarray}$ ein.
04.04.2005, 18:25	Thorsten01	Auf diesen Beitrag antworten »
ah,alles klar. Vielen Dank

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