Nullstellenberechnung ?

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mercany Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellenberechnung ?
Hallo!

Ich habe da nochmal eine Frage zur Nullstellenberechnung.
Wenn ich jetzt eine quadratische Gleichung habe, sprich x² + px +q , dann ist mir klar wie mit Hilfe der pq-Formel die Nullstellen errechne.

Nicht ganz klar ist es mir aber bei Gleichungen wie x^3 + bx^2 + cx + d oder x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + f

Wie würde ich denn da die Nullstellen berrechnen?!



Gruss
Jan
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, es gibt keine allgemeine Vorgehensweise für Nullstellen von Polynomen beliebigen Grades.

In der Schule benutzt man bei Polynomen eines Grades größer als 2 im Allgemeinen immer die Methode des Ratens einer Nullstelle. Hat man eine Nullstelle erfolgreich geraten, lässt sie sich über Polynomdivision vom Polynom "abspalten". Auf diese Weise erhält man eine Linearfaktorzerlegung des Polynoms und kann den Rest immer weiter reduzieren, bis man einen Restfaktor 2. Grades erhält.

Kommen in einem Polynom nur gerade Exponenten vor, ist die Methode der Substitution sehr beliebt. Beispiel:

. Substituiere .

Löse und hinterher nochmals .


Bei hohen Graden sind numerische Verfahren am besten geeignet. (z.B. Newton, Banach'sches-Fixpunktverfahren, ...)
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tobias
In der Schule benutzt man bei Polynomen eines Grades größer als 2 im Allgemeinen immer die Methode des Ratens einer Nullstelle. Hat man eine Nullstelle erfolgreich geraten, lässt sie sich über Polynomdivision vom Polynom "abspalten". Auf diese Weise erhält man eine Linearfaktorzerlegung des Polynoms und kann den Rest immer weiter reduzieren, bis man einen Restfaktor 2. Grades erhält.


Kannst du das mal anhand eines Beispieles etwas genauer erklären oder ein, falls es das gibt, einfacheres nicht schulisches Lösungsverfahren!


Gruss
Jan
Iion2 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, in der Schule geht's meistens per ausklammern und wenn das nicht geht dann per Polynomdivision. Wenn keine Paramater in der Funktion enthalten sind, tipps einfach in den GTRn ein und guck wo die Nullstellen sind. Dann schreibst du f(x)=0 daraus folgt x1=... x2=..., etc.
Du kannst auch einen Teil ausklammern und dann musst du halt einen Wert der die Klammer=Absolutglied macht.
Auch das Substituieren kommt teilweise dran, wobei das wie gesagt nur bei geraden Exponenten funktioniert.

Ich bevorzuge die GTR- Methode, auch wenn das einigen Mathematikern nicht passt smile
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

hier ein Beispiel:

(x³ +5x² +2x -8)÷(x-1)= x² +6x +8
-(x³ - x²)
----------
0x³ +6x² +2x -8
- (6x² -6x)
----------
8x -8
- (8x -8)
-------
0


Verstehst du es schon so?
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, du hast jetzt ganz einfach Polynomdivision gemacht!
Nur woher weis ich jetz, dass wenn ich z.B. (ich nehme mal deine Gleichung) x³ + 5x² +2x - 8 habe, dass ich das Ganze durch (x-1) dividieren muss?
 
 
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst eine Lösung suchen gehen. Das heißt, du suchst für x jene Zahl, bei der die Gleichung stimmt.

x³ - 3x² + x + 1 = 0

So steht das dann da.

Dann sucht man eine Lösung.

und wenn man für x = 1 einsetzt, dann stimmt die Gleichung, denn 0 = 0.

Dann wird die Gleichung durch (x - gefundener Lösung) durchdividiert.

Und zwar deswegen, weil sich jede Gleichung 3. Grades aus folgendem zusammensetzt:

(x - 1. Lösung) * (x - 2. Lösung) * (x - 3. Lösung) = 0

Und wenn du die nun durch (x - 1. Lösung) durchdividierst, dann bleibt dir eine quadratische Gleichung übrig, die du mit Lösungsformel auflösen kannst und kriegst die 2 anderen Lösungen für die Gleichung raus.

Es können aber auch Lösungen wegfallen.
Wenn z.b. unter der Wurzel bei der quadratischen Auflösungsformel 0 oder eine Minuszahl rauskommt.

Es gibt auch Doppellösungen.

lg kiki
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank!

Und wenn ich eine Gleichung 4. oder 5. Grade habe, dann funktioniert das nach dem gleichen Prinzip, oder?


Gruss
Jan
Latrell Walker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme da immer das Horner Schema das ist
einfach nur genial und simpel...!!! Freude

Horner-Schema
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du musst immer eine Lösung abspalten, dann kommst auf die nächstniedrigere Potenz...so lange, bis du bei einer quadratischen Gleichung landest.

Du kannst aber auch sofort 2 Lösungen suchen gehen, dann:

(x - 1. gefundener Lösung) * (x - 2. gefundener Lösung)

ausmultiplizieren und die Gleichung durch das durchdividieren, dann bist du sozusagen 1 Stufe übersprungen und landest gleich von einer Gleichung 4. Grades bei einer Gleichung 2. Grades.

Bei manchen Gleichungen kann man aber diese Methode durch geschicktes Umformen in eine Multiplikation umgehen. Hat man nämlich eine Multiplikation, die 0 ergibt, dann kann man ja Produkt-Null-Satz anwenden:

z.b.



nun braucht man eben einen geübten Blick und sieht, dass man herausheben kann:



und nun noch einmal herausheben:



Und nun kann man Produkt-Nullsatz anwenden.

lg kiki
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kikira
.... dann kann man ja Produkt-Null-Satz anwenden:


Bitte was? :-)
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Produkt-Null-Satz:

... * ..... = 0

Damit da null raus kommt, muss entweder das, was links vom Malzeichen steht oder das, was rechts vom Malzeichen steht, 0 gewesen sein, denn:

3 * was = 0
3 * 0 = 0

oder:

was * 3 = 0
0 * 3 = 0

daher weiß man nun dass entweder:

x - 4 = 0 >> 1. Lösung: x1 = 4

sein muss

oder:

x² - 3 = 0 >> 2. und 3. Lösung: x² = 3 >> x2 = +sqrt(3) und x3 = -sqrt(3)

Das allererste Bestreben bei Gleichungen, die 0 ergeben, ist, dass man versucht, eine Multiplikation zu machen, damit man Produkt-Null-Satz anwenden kann.

Somit kann man ohne Polynomdivision, lediglich mit Umformen alle Lösungen einer Gleichung finden.

lg kiki
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Danke kiki, du bist echt die beste!!!!!!
Wüsste garnicht mehr was ich ohne dich machen würde. smile

Vielen herzlichen Dank für die tolle Erklärung.

Zitat:
Original von Latrell Walker
Ich nehme da immer das Horner Schema das ist
einfach nur genial und simpel...!!! Freude

Horner-Schema


Danke, ich werds mir mal angucken!
Davon gehört habe ich bist jetzt allerdings noch nichts.



Gruss
Jan
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

@kikira:

den Begriff "Produkt-Null-Satz" hast du dir ausgedacht oder?

Habe ich so noch nie gehört..

Gruß,
aRo
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, gar nicht. Aber ich komm ja aus Österreich. Wir haben lauter so komische Begriffe, hihi.

lg kiki
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Also sie meinte ja (x - x1) * (x - x2) * (x - x3), was für mich eigentlich eine normale Linearfaktorzerlegung ist.


Gruss
mercany
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, aber ich versuch immer solche Begriffe zu umgehen, weil dann meistens sofort die Frage hinterher schießt: Was ist eine Linearfaktorzerlegung?
Daher hab ich mir angewöhnt, gleich so zu erklären, was dann natürlich zu Missverständnissen führen kann, bzw. zu Aha-Erlebnissen à la: "Aaaaaaaaaah...du meinst Linearfaktorenzerlegung!" - Da komm ich mir dann schön blöd vor, hihi.

lg kiki
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