Gleichung auflösen

03.04.2005, 20:54

Olivia

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Gleichung auflösen

Hallo Zusammen

Ich habe da mehrere Aufgaben zum lösen, aber irgendwie muss ich sagen, komm ich nicht mehr weiter!
Diese Gleichung soll nach x aufgelöst werden
$\begin{eqnarray*} \frac{x-\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{x-\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=2 \end{eqnarray*}$

Also ich habe mir bereits einen Lösungsweg errechnet doch wie fast immer Augenzwinkern

Augenzwinkern

ist die Lösung wieder mal anders. Hier mein Lösungsversuch verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{2x-a -b}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = 2 \end{eqnarray*}$ //Gleichnahmig machen...und x Zusammenfassen und beide Teile mulipliziert mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{1} \end{eqnarray*}$ ergibt für mich:

$\begin{eqnarray*} 2x -a -b = 2(\sqrt{a} \sqrt{b)} \end{eqnarray*}$ //damit 2x alleine steht, -a -b auf die andere Seite... und das ganze noch dividiert mit 2 =

$\begin{eqnarray*} x = \frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})+a+b}{2} \end{eqnarray*}$ //gekürzt erhalte ich das Resultat:

$\begin{eqnarray*} x = (\sqrt{a}+\sqrt{b}) +a +b \end{eqnarray*}$

Die Lösung aber ist:

$\begin{eqnarray*} x = (\sqrt{a}+\sqrt{b}) \end{eqnarray*}$

Mein Problem wo hab ich was falsch gemacht? Hilfe

Hilfe

Danke schon mal an alle Freude

Freude

Liebe Grüsse livä

03.04.2005, 21:01

etzwane

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die Fehler sind schon im ersten Schritt, da müssen auch die x mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \text{ bzw. } \sqrt{b} \end{eqnarray*}$ multipliziert werden

03.04.2005, 21:03

Drödel

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RE: Gleichung auflösen
Dein Fehler liegt gleich am Anfang; beim Gleichnamiig machen!

Zitat:

Original von Olivia
$\begin{eqnarray*} \frac{x-\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{x-\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=2 \end{eqnarray*}$

Also ich habe mir bereits einen Lösungsweg errechnet doch wie fast immer Augenzwinkern

Augenzwinkern

ist die Lösung wieder mal anders. Hier mein Lösungsversuch verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{2x-a -b}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = 2 \end{eqnarray*}$ //Gleichnahmig machen...

Richtigerweise müsste das heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x\sqrt{a}-a +x\sqrt{b}-b}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = 2 \end{eqnarray*}$

Damit solltest du dann weiter kommen. Noch ein Tipp: Binomische Formel später mal anwenden, dann kürzt es sich leichter.

Happy Mathing
Drödel

03.04.2005, 21:23

Olivia

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Hallo Drödel & etzwane

puh...
gut das hab ich Verstanden, und hab nochmal versucht die Aufgabe zu lösen!

Der nächste Schritt wäre ja das multiplizieren mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \sqrt{b} \end{eqnarray*}$ oder schon wieder falscher Ansatz?

das ergibt für mich:...
$\begin{eqnarray*} \frac{x\sqrt{a}-a + x\sqrt{b}-b}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = 2\sqrt{a}\sqrt{b} \end{eqnarray*}$

Danke nochmal! meine "Definitionslücke" scheint wohl gross zu sein unglücklich

unglücklich

03.04.2005, 21:29

reima

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Mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren ist richtig. Allerdings fällt dann auf der linken Seite der Nenner des Bruchs weg (bzw. wird 1), das ist ja schließlich der Sinn der Aktion smile

smile

03.04.2005, 21:33

Olivia

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Hallo reima

gut dann hab ich jetzt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a}x-a + \sqrt{b}x -b = 2\sqrt{a} \sqrt{b} \end{eqnarray*}$

mmh was kann ich aber als nächstes tun? kann ich die 2 x zusammenfassen 2x? oder $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \sqrt{b} \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten streichen? verwirrt

verwirrt

Wäre froh um einen neuen hint...

MfG livä

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03.04.2005, 21:35

reima

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Als nächstes empfiehlt es sich, alle von x abhängigen Größen auf die eine und alles andere auf die andere Seite zu bringen.

03.04.2005, 21:45

Olivia

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Re-Hallo reima..

muss wohl der Sinn einer Gleichung vergessen habe... :schäm:

$\begin{eqnarray*} x^{2}= 2 \sqrt{a} \sqrt{b}- \sqrt{a} - \sqrt{b} + a + b \end{eqnarray*}$

so.. und dann kann ich $\begin{eqnarray*} - \sqrt{a}-\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ subtrahieren! und erhalte
$\begin{eqnarray*} x^{2}= 2 + a + b \end{eqnarray*}$

und dem ganzen noch die Wurzel nehmen... das ergibt
$\begin{eqnarray*} L=\{ \sqrt{a} \sqrt{b} \} \end{eqnarray*}$

Danke viel mals! Gott

Gott

das stimmt jetzt mal mit der Lösung überein!!...

BIG - Greez

03.04.2005, 22:01

etzwane

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Halt, halt, bei deiner Lösung stimmt ALLES ganz und gar nicht ...

Wo kommt z.B. das x² her ?

So darfst du das wirklich NICHT stehen lassen !!!

03.04.2005, 22:02

reima

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Mooooment... du hast da glaub ich mit den Wurzeln was nicht ganz verstanden.

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{a}\sqrt{b} = 2*\sqrt{a}*\sqrt{b} \end{eqnarray*}$

Das ist also ein Produkt. Und davon kann man nicht einfach $\begin{eqnarray*} - \sqrt{a} - \sqrt{b} \end{eqnarray*}$ abziehen!

Außerdem frage ich mich, wie du auf die x² kommst verwirrt

verwirrt

04.04.2005, 19:41

Olivia

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Hallo

also das $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ kommt von:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \cdot x -a + \sqrt{b} \cdot x - b = 2 \sqrt{a} \sqrt{b} \end{eqnarray*}$
unglücklich

unglücklich

Ich glaub ich hab die Übersicht verloren nochmal alle meine Rechnungsschritte:
Die Aufgabe: $\begin{eqnarray*} \frac{x - \sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{x - \sqrt{b}}{\sqrt{a}} = 2 \end{eqnarray*}$ nach 'x' auflösen.

1) $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{a} \cdot x -a + \sqrt{b} \cdot - b}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = 2 \end{eqnarray*}$ /*beide Seiten $\begin{eqnarray*} \cdot \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{1} \end{eqnarray*}$ */

2) $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \cdot x -a + \sqrt{b} \cdot - b = 2 \sqrt{a} \sqrt{b} \end{eqnarray*}$ /* $\begin{eqnarray*} - \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} - \sqrt{b} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} +a \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} +b \end{eqnarray*}$ */

3) $\begin{eqnarray*} x^{x} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \end{eqnarray*}$

mal bis hier hin.... traurig

traurig

Gruss livä

04.04.2005, 20:03

etzwane

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Zitat:

Original von Olivia
...
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a}x-a + \sqrt{b}x -b = 2\sqrt{a} \sqrt{b} \end{eqnarray*}$
...

Gehen wir mal von dieser Gleichung aus, da stimmt es nämlich noch.

Jetzt schau mal, wie ich rechnen würde:
Erstmal die Glieder mit x auf die linke Seite bringen, alles andere auf die rechte Seite, ergibt
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a}x + \sqrt{b}x = 2\sqrt{a} \sqrt{b} + a + b \end{eqnarray*}$

Jetzt das x auf der linken Seite ausklammern und rechts umordnen, ergibt
$\begin{eqnarray*} x(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a +2\sqrt{a} \sqrt{b}+b \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du auf der rechten Seite in einem Zwischenschritt umformen mit $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 \end{eqnarray*}$ und mit b genauso, so dass du erhältst
$\begin{eqnarray*} x(\sqrt{a}+\sqrt{b})=(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a} \sqrt{b}+(\sqrt{b})^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \end{eqnarray*}$
Da wurde jetzt noch der binomische Lehrsatz gebraucht und benutzt.

Jetzt kannst du beide Seiten der Gleichung durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{a}+\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ teilen und erhältst das Ergebnis für x.

04.04.2005, 20:36

Olivia

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Danke etzwane!

ui ui ui da muss ich aber noch viel dran üben.... geschockt

geschockt

Habe mich heute noch mehr mit solchen Gleichungen befasst und mich an eine weitere gewagt.. (da ich doch wirklich dachte dass die vorherige so stimmt Hammer

Hammer

) aber das soll doch machbar sein... Hilfe

Hilfe

Wieder das gleiche Problem, hab einen Lösungsweg (soll ich wirklich Lösungsweg schreiben?) errechnet aber auch diesmal wieder voll daneben geschossen.... bin wohl ein SuperDAU wenns um Mathematik geht..... verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{6x}{5x+5}+\frac{3x-10}{x+1}-\frac{x+25}{6x+6}+ \frac{5x-1}{4x+4} = 2 \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

/*Ich hab mir gedacht ich Klammere im Nenner immer die Zahlen aus so das ich $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$ immer 'alleine' stehen habe. Sieht so aus....*/
$\begin{eqnarray*} \frac{6x}{5(x+1)}+\frac{3x-10}{x+1}-\frac{x+25}{6(x+1)}+ \frac{5x-1}{4(x+1)} = 2 \end{eqnarray*}$

von 4;5;6 das kgv ist ja 60? dann sieht der Hauptnenner so aus: $\begin{eqnarray*} 60(x+1) \end{eqnarray*}$ (erschlagt mich wenn das wieder net stimmt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

und das erweiterte Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{72x+180x-600x-10x+250+75x-15}{60(x+1)} = 2 \end{eqnarray*}$

aber ich kann mich einfach nicht mit dem Gedanken anfreunden das so was stimmt.... unglücklich

unglücklich

was hab ich wieder verbockt.... ?

grüsse livä

04.04.2005, 20:48

Drödel

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Hallo Olivia,

das war ja schon viel besser als bei deiner ersten Übungsaufgabe Freude

Freude

aber ein kleiner Fehler hat sich dennoch eingeschlichen geschockt

geschockt

(ist aber wirklich nur ein kleiner Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Zitat:

Original von Olivia

$\begin{eqnarray*} \frac{6x}{5(x+1)}+\frac{3x-10}{x+1}-\frac{x+25}{6(x+1)}+ \frac{5x-1}{4(x+1)} = 2 \end{eqnarray*}$

von 4;5;6 das kgv ist ja 60? dann sieht der Hauptnenner so aus: $\begin{eqnarray*} 60(x+1) \end{eqnarray*}$ (erschlagt mich wenn das wieder net stimmt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

und das erweiterte Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{72x+180x-600x-10x+250+75x-15}{60(x+1)} = 2 \end{eqnarray*}$

bei 250 sollte das Vorzeichen statt "+" ein "-" sein, da sich das "-" vor dem 3. Bruch auf den gesamten Zähler bezieht

-(x+25) = -x-25

[edit]... Ah moment da war ja noch was, aber hat mein "Nachredner" ja schon entdeckt ...

Und nun zum Endspurt...

Happy Mathing
Drödel

04.04.2005, 20:48

etzwane

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die Idee mit dem Ausklammern von (x+1) war schon mal sehr gut, und der Hauptnenner von 60 stimmt auch, prima.

Nun zu den Fehlern: auf dem Bruchstrich ist bei 600x das x zuviel, das 250 muss ein negatives Vorzeichen haben. Überleg, warum.

Das korrigieren, dann alles mit x und ohne x zusammenfassen, dann beide Seiten mit dem Nenner links multiplizieren und nochmals alle x und alle ohne x sortieren und zusammenfassen.

04.04.2005, 21:38

Olivia

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Danke euch beiden!....ok.... neuer Bericht...

hab das mal so versucht... komme zwar auf $\begin{eqnarray*} 5.05128 \end{eqnarray*}$ ... Anstelle $\begin{eqnarray*} L={5} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Hier meine 'Überlegungen' (sry geht nicht schneller.....Latex ist net so meine Stärke.... :schäm: )

$\begin{eqnarray*} 317x-865=120x+120 \end{eqnarray*}$ /*-120; +120*/
$\begin{eqnarray*} 197x = 985 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=5.05128.... \end{eqnarray*}$

huch.... der Thread wächst.... Hilfe

Hilfe

grüsse livä

04.04.2005, 21:48

etzwane

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197x=985
x=...?

Kannst du nochmal die Division durchführen ? Big Laugh

Big Laugh

04.04.2005, 21:54

Olivia

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naja ich sollte wohl lieber mal Ruhe geben sonst kommen noch schlimmere Sachen zum Vorschein... Wink

Wink

hab da wohl 195 anstelle 197 genommen.... Hammer

Hammer

danke nochmal..... das Forum Rock

Rock

BiG GreeZ livä....

.::Thread closed::.

04.04.2005, 22:41

mercany

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Das glaube ich wohl auch, denn wenn du $\begin{eqnarray*} 985/197 = x = 5 \end{eqnarray*}$ hast, dann sieht das Ergebniss schon weit aus besser aus! :-)

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