Achilles und die Schildkröte...

Neue Frage »

Elea Auf diesen Beitrag antworten »
Achilles und die Schildkröte...
hallo zusammen

das hab ich irgendwo im web gefunden und finde es faszinierend:
------------------------------
Die alten Griechen diskutierten vor rund 2.500 Jahren das folgende Problem: Bei einem Wettlauf gibt Achilles einer Schildkröte genau einen Meter Vorsprung. Er holt das Tier anscheinend niemals ein, selbt wenn er k-mal schneller als die Schildkröte läuft. Wenn er nämlich den Startpunkt der Schildkröte erreicht, dann ist sie bereits 1/k Meter weitergelaufen. Wenn Achilles diese 1/k Meter aufgeholt hat, ist die Schildkröte schon wieder 1/k^2 Meter entfernt...
------------------------------

doch wie kann das sein? verwirrt

kann mir jemand weiterhelfen und anhand eines zahlenbeispiels vielleicht veranschaulichen ob das so stimmt? ganz versteh ichs ja nicht... Hammer aber es muss ja doch ein treffpunkt geben, wo sich beide treffen?

ich danke im voraus ganz herzlichst für eure antworten :-)
viele grüße
elea

ps: wie wäre es mit folgender aufgaben stellung? nach welcher wegstrecke holt ein fahrzeug b einen fahrzeug a der 90m vorsprung hatte ein? v_a soll 2m/s mit v_a=const. und v_b 10m/s mit v_b=const. und v_b > v_a (ist ja logisch ^^) sein. ist das überhaupt lupenrein lösbar?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zenon aus Elea?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

mit etwas mathematik kannst du schnell ausrechnen, das achilles die schildkröe schnell bekommen wird....
ansonsten kannst du ja mal ein wettrennen gegen eine weinbergschnecke machen und das selbst testen.....

das ist einfach ein irrtum, der mit unendlichen reihen und so zu tun hat (?)
hoffentlich sage ich da jetzt nix falsches


anderes schönes irrtum: ein pfeil wird abgeschossen
in einem augenblick (zeitdauer 0) bewegt er sich nicht vorwärts (nehmen wir v=s/t konstante geshwindigkeit, dann ist s=v*t=0), also steht er in jedem augenblick.
ganze zeit: unendlich viele augenblicke aneinandergereiht in denen der pfeil steht, also fliegt er gar nicht.....

mfg jochen
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze haben wir bei den Grenzwerten besprochen.

Nach der berechnung wird der abstand immer größer Null sein.

Unser Lehrer hat den Fehler daraus begründet, dass die Zeit angehalten werden müsste, um auf unendlich kleine Teilstücke der Strecke zu kommen.


In der realität wird jede person A die schneller als B läuft irgendwann B überholen.
Elea Auf diesen Beitrag antworten »

dein beispiel mit dem pfeil versteh ich gar nicht so recht... t=0? geschockt
und was ist mit der plankzeit? die ist doch nie null oder? aber das kann man ja auch anderster interpretieren... wenn er in 0s eine wegstrecke zurücklegt, dann ist der körper quasi überall zur gleichen "zeit", also seine geschwindigkeit unendlich.

naja, und zu meinem beispiel gibt es da einen ansatz? du sagtest "mit etwas mathematik kannst du schnell ausrechnen"... Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

anderes beispiel:
behauptung: ein apfel kann nicht auf den boden fallen
er überwindet die hälfte der strecke. danach überwindet er wieder die hälfte der reststrecke und so weiter.....
also kommt er logischerweise nie am boden an...

doch nun: sei t die zeit, die er bruahct für die erste hälfte.
nach der physik beschleunigter fall, d.h. die zeit, die er für die hälfte der 2. hälfte brucht ist kleiner t/2 kann also nach oben mit t/2 abgeschätzt werden.
die nächste teilstreckenfalzeit dann mit t/4....

addiert man nun dies ganzen falzeiten, so kommt man auf einen grenzwert von t (und das ist nur eine obere schranke).

also kommt ja unweigerlich die frage. wo befindet sich der apfel nach einer zeit t0>t?
einige logische erklärung, um obigen irtum azfrecht zu erhalten: der zeitpunkt t0 kann nicht erreicht werden..... (nachdem t/2 zeit vergangen ist, muss wieder eine bestimmte zeit t/4 vergehen, danah t/8....... ähnliche argumentation.)

das ist natürlich falsch, denn t0 wird erreicht.

mfg jochen


edit:
Zitat:
naja, und zu meinem beispiel gibt es da einen ansatz? du sagtest "mit etwas mathematik kannst du schnell ausrechnen"...

schildkröte: 1m/s (superschildkröte)
achilles: 5m/s

vorsprung: 3m

startzeitpunkt: achilles bei 0m, schildkröte bei 3m
nach 1 sekunde: achilles bei 0m+5m=5m, schildkröte bei 3m+1m=4m

achilles ist vorne

mfg jochen
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte das Problem nicht wegdiskutieren, indem man auf die Grenzwertrechnung verweist. In der Tat ist es so, daß Achill die Schildkröte zu den betrachteten Zeitpunkten nicht einholt. Aber die betrachteten Zeitpunkte überschreiten einen konkreten endlichen Zeitpunkt eben nicht ...
Elea Auf diesen Beitrag antworten »

hm...

wenn wir von "apfel kann boden nicht erreichen" ausgehen wollen, gilt aber v_apfel ~ t und das ist nicht mehr konstant, wie v_boden. okay, der boden hat keine geschwindigkeit, aber der treffpunkt entspricht dann dem vorsprung=die fallhöhe vom apfel... das heißt doch jetzt ist die um einiges komplizierter?

*weiter nachdenkt*
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich wollte damit auch nur auf andere "wurmstichige" argumentationen aufmerksam machen....

mfg jochen


ps: zu dem thema kann ich übrigens den roman: "pyramiden" von terry pratchett empfehlen, in der jemand dein obiges paradoxon untersucht und mit pfeil un bogen auf eine schildkröte schießt, dr pfeil kann ja (wie achilles) die kröte nie erreichen
effekt: sehr viele durchbohrte schildkröten
Elea Auf diesen Beitrag antworten »

oh... sry, das hab ich erst jetzt gesehen, dass du es gerechnet hast an einem beispiel, danke dir jochen :-)

*****
EDIT
*****
ich bin zu langsam wenn es um das antworten geht... -.-
Elea Auf diesen Beitrag antworten »

@ Leopold

wie meinst du das konkret für die zeitpunkte? kann man das auch geometrisch abhandeln, so das wir den punkt=zeitpunkt als null-dimensionales "ding" betrachten? ist das vielleicht ein möglicher ansatz für eine lösung?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

leopold argumentiert so, ich machs wieder am rechenbeispiel:

schildkröte 3m vorsprung, geschwindigkeit 1m/s, achilles nur noch 4m/s (müde)
du errechnest: nach genau 1s sind beide 4m weit (achilles hat aufgeschlossen)

betrachte nun eine zeitfolge, die gegen t=1 konvergiert und messe für einige t_n=a_n sekunden, ob achilles die schidkröte erreicht:
[a_n=1-1/(n+1), a_1=1/2, a_2=3/4, a_3=7/8....., damit t_1=1/2s, t_2=3/4s,...]
dann hat achilles die schildkröte in keinem dieser zeitpunkte eingeholt, sondern für jedes n aus IN gilt, die schildkröte ist vorne, dabei schrumpft der abstand gegen 0.

dieses beispeil bitte gut durchdenken!

das besagt abe nicht, dass achilles die shildkröte nach 2s schon längst hat und dieser zeitpunkt kommt unaufhaltsam.

lar?
Elea Auf diesen Beitrag antworten »

ist das auch so richtig, sry habs nicht ganz verdaut: [a_n=1-1/(n+1), a_1=1/2, a_2=3/4, a_3=7/8....., damit t_1=1/2s, t_2=3/4s,...]

für a_n=1-1/(n+1) erhalte ich für a_1 null, für a_2=2-1/(2+1)=1/3 und für a_3=3-1/(3+1)=2/4=1/2.. usw.

*****
EDIT
*****
okay, hab da ein fehler gemacht in der reihe... aber so ganz versteh ichs noch nicht... 1-1=0 und =0/n=0=0s? das heißt doch aber das achilles bei 4m die schildkröte in 0s einholen wird, also das er sie dort bei 4m tatsächlich eingeholt hat ;-)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

t_n besagt eine vergangene zeit nach der gemessen wird.
du misst das erste mal nach 1/2s, danach nach 3/4s, danach nach 7/8s, danach nach 15/16s und so weiter.
du misst unendlich mal, aber immer nach weniger als 1s.
zu den gemessenen zeiten hat achilles nie die kröte erreicht.

mfg jochen
Elea Auf diesen Beitrag antworten »

okay, ich versteh jetzt was du damit gemeint hast...
viele grüße
elea
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

okay dann ist dir also auch das ausgangsproblem und der "denkfehler" klar?
wenn ja, wunderbar.

dann: gern geschehen und gute nacht.

mfg jochen
Elea Auf diesen Beitrag antworten »

ja, alles klar ;-) nochmals danke für dein bemühen... und ebenfalls gute nacht :-)
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »