exp(Matrix) wie?

04.04.2005, 12:22

Protector1982

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exp(Matrix) wie?

Beim durcharbeiten des letzten Blattes (Die eine Klausur ist am Mittwoch und die andere am Freitag) bin ich noch auf folgenden Aufgabentyp gesoßen:

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} e^A \end{eqnarray*}$ wobei A die Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&0&-1\\-2&-1&-2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

Oder:
Berechnen Sie
$\begin{eqnarray*} exp\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danke schön

04.04.2005, 12:42

quarague

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du bestimmst die Eigenwerte der Matrix und damit die Jordannormalform.
Wenn du Glück hast, ist die Matrix diagonalierbar, wenn nicht ist es ein bisschen komplizierter, intuitiv würde ich denken, du hast Glück ;-)
Dann kriegst du etwas in der Form A=ODO^-1 wobei O eine orthogonale Matrix und D eine Diagonalmatrix ist. Wenn du dann die Def für e^A mit der Reihe aufschreibst, siehst du, dann die O's in der Mitte alle rausfallen, damit ist
e^A=O(e^D)O^-1
e^Diagonalmatrix kannst du dann einfach ausrechnen

04.04.2005, 13:04

Protector1982

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Bei deiner Antwort taucht dann die Frage auf:
Wie diagonalisiere ich eine Matrix?

Ich weiß nur dass wir in Differentialgleichungen dass irgendwie anderst gemacht haben.
Da wurde einfach an die an die Stellen $\begin{eqnarray*} \not=0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} e^{StellenWert} \end{eqnarray*}$ geschrieben...

Also im Falle:
$\begin{eqnarray*} exp\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wäre dies dann:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e^2&e^1&0\\0&e^2&e^1\\0&0&e^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

04.04.2005, 13:44

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Nein: Für die 3er-JNF ist

$\begin{eqnarray*} \exp\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}=\exp(\lambda)\cdot\begin{pmatrix}1 & \frac{1}{1!} & \frac{1}{2!}\\ 0 & 1 & \frac{1}{1!}\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

04.04.2005, 14:14

Protector1982

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So mal gucken ob ich dass richtig verstanden habe:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&0&-1\\-2&-1&-2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Basis ist nicht in Diagonalform -> Jordan Normalform bestimmen.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} exp(A)=exp(\lambda)\cdot A= \begin{pmatrix}e^0\\e^0\\e^{-1}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&\frac{1}{1!}&\frac{1}{2!}\\0&1&\frac{1}{1!}\\0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix}1\\1\\e^{-1}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&\frac{1}{1!}&\frac{1}{2!}\\0&1&\frac{1}{1!}\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&\frac{1}{2}\\0&1&1\\0&0&e^{-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder für
$\begin{eqnarray*} exp\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Matrix ist in Diagonalform, also stehen die Eigenwerte auf der Hauptachse:
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2,3}=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} exp\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{2}\\e^{2}\\e^{2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&\frac{1}{1!}&\frac{1}{2!}\\0&1&\frac{1}{1!}\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^2&e^2&\frac{e^2}{2}\\0&e^2&e^2\\0&0&e^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt dass dann so?

04.04.2005, 14:26

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Zitat:

Original von Protector1982
$\begin{eqnarray*} exp\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{2}\\e^{2}\\e^{2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&\frac{1}{1!}&\frac{1}{2!}\\0&1&\frac{1}{1!}\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^2&e^2&\frac{e^2}{2}\\0&e^2&e^2\\0&0&e^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt dass dann so?

Deine Schreibweise widerspricht den gängigen Konventionen: Vektor * Matrix = Vektor !!!

Was du meinst, ist wahrscheinlich

$\begin{eqnarray*} exp\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}=e^{2}\cdot \begin{pmatrix}1&\frac{1}{1!}&\frac{1}{2!}\\0&1&\frac{1}{1!}\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^2&e^2&\frac{e^2}{2}\\0&e^2&e^2\\0&0&e^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ ist hier nur ein skalarer Vorfaktor!

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04.04.2005, 14:32

Protector1982

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Hm, ist dann das erste Beispiel auch falsch? Oder stimmt es da?
Aber das Ergebniss stimmt doch so oder? (beide Fälle)

04.04.2005, 14:49

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Das erste Beispiel ist höchtstwahrscheinlich falsch - ich kann es auf die Schnelle allerdings nicht reparieren, da ich für die Berechnung der Trafo-Matrix nichtdiagonalisierbarer JNFs auch erstmal nachschauen muss, wie das geht. Aber es gibt ja noch andere LinAlg-Experten hier, die sowas vielleicht aus dem Handgelenk machen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

In der "Mitte" steht auf jeden Fall
$\begin{eqnarray*} \exp\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&e^{-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

04.04.2005, 16:00

Protector1982

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Wie kommen die 0er in der hintersten Spalte bei dir zustande?
Die kommen bei mir da nicht wirklich hin?

Drecks Thema, hoffentlich kommt sowas nicht in der Klausur

04.04.2005, 16:24

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Wenn $\begin{eqnarray*} A=\mathrm{diag}(J_1,J_2,\ldots,J_k) \end{eqnarray*}$ mit quadratischen Teilmatrizen beliebiger, auch unterschiedlicher Dimension ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} \exp(A)=\mathrm{diag}(\exp(J_1),\exp(J_2),\ldots,\exp(J_k)) \end{eqnarray*}$ .

Und genau das nutze ich hier mit k=2 und $\begin{eqnarray*} J_1=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} J_2=(-1) \end{eqnarray*}$ .

Übrigens, eine mögliche Trafomatrix U für $\begin{eqnarray*} A=UJU^{-1} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} U=\begin{pmatrix}-1&3&-2\\ 0&-1&1\\ 1&-3&3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U^{-1}=\begin{pmatrix}0&-3&1\\ 1&-1&1\\ 1&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also ist

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&1&1\\ -1&0&-1\\ -2&-1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&3&-2\\ 0&-1&1\\ 1&-3&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&-3&1\\ 1&-1&1\\ 1&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

P.S.: Hab ich mit MuPAD berechnet...

04.04.2005, 16:53

Protector1982

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Also auf der Lösung die ich jetzt von einem Mitstudenten erhalten habe steht als Lösung, dass was ich habe, also anstelle der Nullen bei dir das $\begin{eqnarray*} \frac{e^2}{2} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$

Zum Jordan Ding, hatte er leider jedoch auch keine Lösung...

04.04.2005, 17:05

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Zitat:

Original von Protector1982
Also auf der Lösung die ich jetzt von einem Mitstudenten erhalten habe steht als Lösung, dass was ich habe, also anstelle der Nullen bei dir das $\begin{eqnarray*} \frac{e^2}{2} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$

Wovon sprichst du?

04.04.2005, 17:16

Protector1982

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Von der Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} exp\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{2}\\e^{2}\\e^{2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&\frac{1}{1!}&\frac{1}{2!}\\0&1&\frac{1}{1!}\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^2&e^2&\frac{e^2}{2}\\0&e^2&e^2\\0&0&e^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Lösung stimmt wohl laut der Musterlösung eines Mitstudenten, wobei der nur die Lösung hat

05.04.2005, 09:55

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Die Lösung

$\begin{eqnarray*} exp\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^2&e^2&\frac{e^2}{2}\\0&e^2&e^2\\0&0&e^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

habe ich ja gar nicht angezweifelt - habe ich ja oben auch raus. Was aber sämtlichen gängigen Schreibweisen widerspricht ist das Konstrukt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e^{2}\\e^{2}\\e^{2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&\frac{1}{1!}&\frac{1}{2!}\\0&1&\frac{1}{1!}\\0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

das ist von der Dimension her gar nicht definiert! Wenn du die Multiplikation von Matrizen bzw. zwischen Vektor und Matrix begriffen hast, müsstest du eigentlich wissen, was mich an dieser Schreibweise stört!

05.04.2005, 10:10

Protector1982

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Du meinst der erste Term dürfte kein Vektor sein, verstehe ich dass richtig?
Laut Falk Schema, ist ein 3x1 multipliziert mit einer 3x3 Matrix jedoch definiert.

Zum generellen Lösungsverfahren:
Ich hatte dich so verstanden, dass die Lösung halt immer so aussieht:
Vektor der Eigenwerte multipliziert mit der Matrix die von dir genannt war.

Sollte die Matrix nicht in diagonalform gegeben sein, muss man diese halt erst in Jordan Form bringen, und danach die Eigenwerte mit der von dir genannten Matrix multiplizieren...

05.04.2005, 10:36

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*Arghh*

http://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmul...en_von_Matrizen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e^{2}\\e^{2}\\e^{2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&\frac{1}{1!}&\frac{1}{2!}\\0&1&\frac{1}{1!}\\0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist nicht definiert. Mit einem Zeilen- statt Spaltenvektor links ist dagegen folgendes berechenbar

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}e^{2}&e^{2}&e^{2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&\frac{1}{1!}&\frac{1}{2!}\\0&1&\frac{1}{1!}\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{2}&2e^{2}&\frac{5}{2}e^{2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit einem Ergebnisvektor rechts, der wenig mit der erwarteten Ergebnismatrix zu tun hat.

05.04.2005, 10:54

N8schichtler

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Was ganau willst du denn?

Ich hätte aus deinem Titel
$\begin{eqnarray*} e^{\begin{pmatrix}1&\frac{1}{1!}&\frac{1}{2!}\\0&1&\frac{1}{1!}\\0&0&1\end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$
erwartet. Dabei setzt du die Matrix an die Stelle des x in der TAYLOR-Reihe von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ .

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