Suche Parameteraufgaben für Funktionsgl.

04.04.2005, 18:10

Latrell Walker

Suche Parameteraufgaben für Funktionsgl.

Ich suche dringend Parameteraufgaben für Funktionsgleichungen mit
Lösungen da ich die nicht so richtig verstehe und lösen kann Hilfe

04.04.2005, 18:26

Deakandy

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RE: Suche Parameteraufgaben für Funktionsgl.
Sind das Funktionsscharen?

04.04.2005, 18:32

Latrell Walker

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Ich weiß nicht was Funktionsscharen sind verwirrt

Ich meine sowas hier:

Eine ganz-rationale Funktion vierten Grades hat im Ursprung
eine waagerechte Tangente und in S(-2/2) einen Sattelpunkt.
Wie lautet die Funktionsgleichung?

04.04.2005, 18:34

Deakandy

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Ach das sind steckbriefaufgaben
Na dann fang doch mal an...
Lösen wir die zusammen
Andy

04.04.2005, 19:12

Latrell Walker

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Normalform ax^4 +bx^3+cx^2+dx+e

Tangente f´(0)=0 >>> 4ax^3+3bx^2+2cx+d=0

Sattelpunkt f(-2)=2

Ursprung O( 0|0 ) >>>d=0

mehr weiß ich net unglücklich

05.04.2005, 08:58

klarsoweit

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Also der Ansatz ist: f(x) = ax^4 +bx^3+cx^2+dx+e

Zitat:

Original von Latrell Walker
Tangente f´(0)=0 >>> 4ax^3+3bx^2+2cx+d=0

Du mußt die Stelle x=0 in die Gleichung einsetzen.

Zitat:

Original von Latrell Walker
Sattelpunkt f(-2)=2

Setze die Stelle x=-2 in die Funktionsgleichung ein. Welche weiteren Eigenschaften hat die Funktion in einem Sattelpunkt?

Zitat:

Original von Latrell Walker
Ursprung O( 0|0 ) >>>d=0

Wie kommst du auf d=0? verwirrt

Kann ein Moderator mal den Titel ändern?

05.04.2005, 16:27

Latrell Walker

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Zitat:

Original von klarsoweit
Also der Ansatz ist: f(x) = ax^4 +bx^3+cx^2+dx+e

Zitat:

Original von Latrell Walker
Tangente f´(0)=0 >>> 4ax^3+3bx^2+2cx+d=0

Du mußt die Stelle x=0 in die Gleichung einsetzen.
Dann kommt ja raus d=0...???

Zitat:

Original von Latrell Walker
Sattelpunkt f(-2)=2

Setze die Stelle x=-2 in die Funktionsgleichung ein.
16a-8b+4c-2d+e...???
Welche weiteren Eigenschaften hat die Funktion in einem Sattelpunkt?
f´(-2)=0

Zitat:

Original von Latrell Walker
Ursprung O( 0|0 ) >>>d=0

Wie kommst du auf d=0? verwirrt

Ich dachte wenn die Kurve durch den Koordinatenursprung geht kann man d=0 setzen

05.04.2005, 18:02

Frooke

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Ich mach nochmal eine zusammenfassende Übersicht Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=12ax^2+6bx+2c \end{eqnarray*}$

Nun weisst Du folgendes:
«[…] im Ursprung[…]» $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$
«[…] waagrechte Tangente[…]» $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$
«[…] Sattelpunkt in (-2|2)…]»
$\begin{eqnarray*} f(-2)=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(-2)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(-2)=0 \end{eqnarray*}$

5 Angaben, 5 Gleichungen, 5 Unbekannte… klappts jetzt?

05.04.2005, 19:09

Latrell Walker

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Zitat:

Original von Frooke
Ich mach nochmal eine zusammenfassende Übersicht Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=12ax^2+6bx+2c \end{eqnarray*}$

Nun weisst Du folgendes:
«[…] im Ursprung[…]» $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ klar Kurve durch Ursprung
«[…] waagrechte Tangente[…]» $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ klar m=0
«[…] Sattelpunkt in (-2|2)…]»
$\begin{eqnarray*} f(-2)=2 \end{eqnarray*}$ Funtion is klar...!!!
$\begin{eqnarray*} f'(-2)=0 \end{eqnarray*}$ Extrema...???
$\begin{eqnarray*} f''(-2)=0 \end{eqnarray*}$ Wendpunkt...???

5 Angaben, 5 Gleichungen, 5 Unbekannte… klappts jetzt?

05.04.2005, 21:54

Frooke

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Zitat:

Original von Latrell Walker
«[…] im Ursprung[…]» $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ klar Kurve durch Ursprung Freude

Genau!
«[…] waagrechte Tangente[…]» $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ klar m=0 Freude

Genau!
«[…] Sattelpunkt in (-2|2)…]»
$\begin{eqnarray*} f(-2)=2 \end{eqnarray*}$ Funtion is klar...!!! Freude

Auch gut!
$\begin{eqnarray*} f'(-2)=0 \end{eqnarray*}$ Extrema...??? Nicht ganz!
$\begin{eqnarray*} f''(-2)=0 \end{eqnarray*}$ Wendpunkt...??? Ja! Freude

In der Regel ist eine Nullstelle der ersten Ableitung ein Extremum, das hast Du richtig gesehen! Nun muss aber für ein Extremum die zweite Ableitung ungleich null sein. Ist nun die zweite Ableitung null und die dritte nicht, so ist es ein Wendepunkt. Wenn nun ZUSÄTZLICH die erste Ableitung null, ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente (sog. Sattelpunkt).

Deshalb ist dort f'(x)=0 UND f''(x)=0. Es ist - wie mein Mathelehrer zu sagen pflegt - ein «verkümmertes Extremum» Augenzwinkern

...

LG

06.04.2005, 16:02

Latrell Walker

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Ok...

Hab doch mal ein paar Fragen:

1.)
Warum gibt es bei einem Scheitelpunkt z.B. S(1|4) nur eine
Sache draus erkennbar.Nämlich nur f(1)=4.Ich hätte noch
f´(1)=0 genommen weil ja der Anstieg in dem Punkt null ist...???

2.)
P(2|1) hat f eine Senkrechte Tangente mit g(X)=-1/2x+2
Warum muss ich für m den Kehrwehrt nehmen die Tangente
liegt doch an der Kurve an...???

06.04.2005, 16:17

Latrell Walker

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Und doch was bei der Aufgabe:

Eine ganz-rationale Funktion dritten Grades geht durch den
Ursprung und hat im Wendepunkt W(2/1) die Steigung -1,5.
Wie lautet die Funktionsgleichung...???

Hab drei Sachen rausgefunden( ob die stimmen weiss ich nicht)
brauch aber 4...!!!

f(0)=0

f"(2)=1

f`(2)=-1,5

Hilfe

06.04.2005, 17:19

Frooke

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Zitat:

Original von Latrell Walker
Hab doch mal ein paar Fragen:

1.)
Warum gibt es bei einem Scheitelpunkt z.B. S(1|4) nur eine
Sache draus erkennbar.Nämlich nur f(1)=4.Ich hätte noch
f´(1)=0 genommen weil ja der Anstieg in dem Punkt null ist...???

2.)
P(2|1) hat f eine Senkrechte Tangente mit g(X)=-1/2x+2
Warum muss ich für m den Kehrwehrt nehmen die Tangente
liegt doch an der Kurve an...???

Zu 1: ja, hast recht. f'(1)=0, gut bemerkt!

Zu 2: da verstehe ich die Frage nicht ganz... Meinst Du eine Normale? Wenn ja, bedenke, dass $\begin{eqnarray*} m_{Tangente} \cdot m_{Normale}=-1 \end{eqnarray*}$
Insofern wärs aber der Kehrwert ohne Minus!

Zitat:

Original von Latrell Walker
Und doch was bei der Aufgabe:

Eine ganz-rationale Funktion dritten Grades geht durch den
Ursprung und hat im Wendepunkt W(2/1) die Steigung -1,5.
Wie lautet die Funktionsgleichung...???

Hab drei Sachen rausgefunden( ob die stimmen weiss ich nicht)
brauch aber 4...!!!

f(0)=0

f"(2)=1

f'(2)=-1,5

f(0)=0 stimmt!

f"(2)=1 stimmt nicht, beim Wendepunkt ist f''(x)=0, also f''(2)=0

Da der Punkt (2|1) ist ist f(2)=1

f'(2)=-1,5 Stimmt!

LG

06.04.2005, 17:42

Latrell Walker

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Noch gleich ne Frage hinterher Augenzwinkern

1.)f(0)=0

2.)f(2)=1

3.)f'(2)=-1,5

4.)f''(2)=0

Wie mach ich den das mit dem Variablen einsetzen...???

1.) a+b+c+d=0

2.) a+b+c+d=1 verwirrt

06.04.2005, 18:30

Frooke

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Suchst Du jetzt eine Funktion 4. Grades (oder nicht?):
Wenn ja:
$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=12ax^2+6bx+2c \end{eqnarray*}$

Angaben:
$\begin{eqnarray*} f(0)=0\\f(2)=1\\f'(2)=-1.5\\f''(2)=0 \end{eqnarray*}$

Zum einsetzen so verfahren: Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(\underbrace{0}_{\text{x-Wert}})=\underbrace{0}_{\text{y-Wert = f(x)}} \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} f(0)=a0^4+b0^3+c0^2+d0+e=0 \end{eqnarray*}$ Es folgt daraus $\begin{eqnarray*} e=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(2)=16a+8b+4c+2d=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(2)=24a+12b+4c+d=-1.5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(2)=48a+12b+2c=0 \end{eqnarray*}$
usw. da fehlt noch eine Angabe, da kann ich nicht helfen, weil ich die Aufgabe nicht kenne unglücklich

... Schreib sie doch mal hin...

Und wenns eine Funktion dritten Grades ist, kannst Du trotzdem meine Rechnung machen im Wissen, dass a=0... Augenzwinkern

Noch ne Info:

Dein Titel heisst «Suche Parameteraufgaben für Funktionsgl.». Was Du suchst sind Koeffizienten! Parameter sind z.B. in einer Funktionenschar anzutreffen:

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f_n(x)=nx \end{eqnarray*}$
Da ist n ein Parameter und die Funktionenschar umfasst alle linearen Funktionen, die durch den Ursprung gehen...
$\begin{eqnarray*} f_1(x)=x,f_3(x)=3x,f_{7.1234635489}=7.1234635489x \end{eqnarray*}$ usw...

EDIT: Teufel

Latex korrigiert

06.04.2005, 19:04

Latrell Walker

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Die Aufgabe ist wirklich so formuliert wie oben.Wir haben doch 4 Angaben was fehlt denn...??? verwirrt

06.04.2005, 19:21

Frooke

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so hast Du einen Unbekannten zuviel! Sete a=0, sorry, war dritter Grad...

06.04.2005, 19:26

Latrell Walker

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Dann fehlt ja nix mehr oder...???

06.04.2005, 20:02

Latrell Walker

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Die Aufgabe ist bei mir nicht Lösbar...!!! unglücklich

f(0)=d=0

f(2)=8a+4b+2c+d=1

f´(2)=12a+4b+2c=-1,5

f"(2)=12a+4b=0

06.04.2005, 20:18

Frooke

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Zitat:

Original von Latrell Walker
Die Aufgabe ist bei mir nicht Lösbar...!!! unglücklich

f(0)=d=0

f(2)=8a+4b+2c+d=1

f´(2)=12a+4b+2c=-1,5

f"(2)=12a+4b=0

Warum denn nicht? d=0 ist ja schon mal gut!
Dann hast Du drei Gleichungen, drei unbekannte! Das klappt doch!

06.04.2005, 20:25

Latrell Walker

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a= -0,625 laut der Gleichung

aber im Löser ist 0,5X^3-3x^2+4,5x

06.04.2005, 21:16

Frooke

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Also:
f(2)=8a+4b+2c+d=1 ist auf jeden Fall richtig!
f(0)=0 und d=0 auch!

Hier ists falsch:
f´(2)=12a+4b+2c=-1,5
Es muss heissen
f'(2)=12a+4b+c=-1.5 nicht 2c

Auch hier
f"(2)=12a+4b=0
Es sollte stehen
f''(2)=12a+2b=0

Versuchs mal damit!

06.04.2005, 22:17

Latrell Walker

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