LTI-System-Berechnung der stationären Antwort

04.04.2005, 22:15	Thorsten01	Auf diesen Beitrag antworten »
LTI-System-Berechnung der stationären Antwort Hallo,ich hab da noch ein Problem,bei dem ich nicht weiterkomme. Gegeben ist ein LTI-System,bei dem für ein gegebenes Eingangssignal $\begin{eqnarray} e_{ein} \end{eqnarray}$ die Ströme $\begin{eqnarray} i_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i_2 \end{eqnarray}$ die Integrodifferentialgleichungen lösen. $\begin{eqnarray} e_{ein} (t)=\frac{3}{4}\int\limits_{0}^t i_1(u)du + \frac{3}{2}i_1'(t) + \frac{3}{2} i_2'(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e_{ein} (t)=\frac{3}{2}i_1'(t)+i_2(t)+2i_2'(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i_1'(0)=i_2'(0)=0 \end{eqnarray}$ 1.War zu berechnen die Übertragungsfunktion un der Frequenzgang. Da hab ich: $\begin{eqnarray} H(s)=\frac{1}{s^3+2s^2+2s+1} \end{eqnarray}$ als Übertragungsfunktion und als Frequenzgang $\begin{eqnarray} F(\omega)=H(i\omega)=\frac{1}{-i\omega ^3-2\omega ^2+2i\omega +1} \end{eqnarray}$ 2.War zu berechnen der Betrag des Frequenzgangs: Mein Ergebnis: $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+\omega ^6} \end{eqnarray}$ Und 3.(da wo ich nicht weiterkomme) Berechnung der stationären Antwort auf $\begin{eqnarray} e_1(t)=sin(t) \end{eqnarray}$ Anzugeben sind Amplitude und Phasenverschiebung. Ich hab leider keine Idee wie ich da rangehen muß.
05.04.2005, 12:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat - glaube ich zumindest - was mit Regelungstechnik zu tun, Übertragungsfunktion H(s) ist doch irgendeine Laplacetransformierte? Na egal, die zwei Gleichungen für $\begin{eqnarray} e_{ein}(t) \end{eqnarray}$ gleichgesetzt und nach t differenziert ergibt $\begin{eqnarray} i_1(t)=\frac{4}{3}i_2'(t)+\frac{2}{3} i_2''(t) \end{eqnarray}$ Das wiederum in die zweite Gleichung eingesetzt führt mit $\begin{eqnarray} y=y(t)=i_2(t) \end{eqnarray}$ zur linearen Dgl. $\begin{eqnarray} y'''+2y''+2y'+y=e_{ein}(t) \end{eqnarray}$ Soweit warst du sicher selbst schon, vermutlich auch bei der allgemeinen Lösung der homogenen Dgl $\begin{eqnarray} y_h'''+2y_h''+2y_h'+y_h=0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} y_h(t)=e^{-\frac{t}{2}}\left[C_1\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)+C_2\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)\right]+C_3e^{-t} \end{eqnarray}$ Sämtliche homogenen Lösungen konvergieren für $\begin{eqnarray} t\to\infty \end{eqnarray}$ gegen Null, so dass für das stationäre Verhalten der Lösung $\begin{eqnarray} i_2(t)=y(t) \end{eqnarray}$ nur die partikuläre Lösung $\begin{eqnarray} y_p \end{eqnarray}$ der Gleichung $\begin{eqnarray} y'''+2y''+2y'+y=sin(t) \end{eqnarray}$ maßgeblich ist, und die kriegt man durch den Ansatz $\begin{eqnarray} y_p(t)=A\cos(t)+B\sin(t) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \sin(t)=(-A-B)\sin(t)+(-A+B)\cos(t) \end{eqnarray}$ führt nach Koeffizientenverglich zu A = B = -1/2 . Es ergibt sich somit $\begin{eqnarray} i_{2s}(t)=-\frac{1}{2}(\cos(t)+\sin(t)) \end{eqnarray}$ und daraus dann $\begin{eqnarray} i_{1s}(t)=\frac{1}{3}(-\cos(t)+3\sin(t)) \end{eqnarray}$ Amplitude und Phasenverschiebung kannst du aus diesen Darstellungen ja wohl selbst ausrechnen.

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