lineare Abbildungen, injektion

05.04.2005, 00:37	Stefan2380	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Abbildungen, injektion Geh ich recht in der Annahme, dass eine injektive, lineare Abbildung automatisch surjektiv ist? mein Gedankengang ist dieser: f(linear):V $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ W; dim(W) $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ dim(V) (das ist ja immer so, oder?) dim(kern(f))+dim(im(f))=dim(V) (Dimensionssatz) f injektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ kern(f)=0 $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ dim(im(f))=dim(V), $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ im(f)=W $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ f surjektiv
05.04.2005, 00:41	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \phi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, \; (x_1, x_2) \mapsto (x_1, x_2, 0) \end{eqnarray}$ Prüf das mal auf Linearität, Injektivität und Surjektivität.
05.04.2005, 00:45	Stefan2380	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, aber bildet die nicht eigentlich in den $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ ab? dann wärs ja surjektiv, oder?
05.04.2005, 00:50	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, sie bildet in einen zweidimensionalen Unterraum des R^3 ab. Daher ist sie nicht surjektiv aber injektiv.

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