Determinantenverfahren -???

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05.04.2005, 14:54	Céleste	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinantenverfahren -??? Hallo Leute! Ich soll eine Aufgabe nach dem Determinantenverfahren lösen. Aber was ist das überhaupt für ein Verfahren und wie funktioniert es? Ich habe das im Mathe-Buch überhaupt nicht verstanden. Aufgabe: 3x-4y=-1 -x+y=8 Kann mir bitte jemand dabei helfen? Céleste
05.04.2005, 15:00	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte es sich um die Cramersche Regel handeln? Man nehme das lineare Gleichungssystem $\begin{eqnarray} Ax = b \end{eqnarray}$ mit Matrix A und Lösungsvektor b. Der Vektor x wird gesucht. Notation: $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ ist die i-te Komponente des Vektors x $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ ist die Matrix A, deren i-te Spalte durch den Vektor b überschrieben wurde. Dann lautet die Cramersche Regel: $\begin{eqnarray} x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \end{eqnarray}$
05.04.2005, 15:10	Céleste	Auf diesen Beitrag antworten »
ich verstehe leider nur Bahnhof Kannst du das nicht vielleicht einfach anhand des Beispiels erklären, ohne viel Formelzeugs...einfach nur Schritt für Schritt, sodass ich es als Normalsterbliche ;-) verstehe?!
05.04.2005, 15:22	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Da du das Determinantenverfahren ansprichst denke ich, dass du weißt, wie man ein LGS in Matrixform umwandelt. Ich nehme als Beispiel das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für den ersten Schritt ersetzen wir die erste Spalte der Matrix durch den Lösungsvektor: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt erhalten wir x_1 durch die Cramersche Regel: $\begin{eqnarray} x_1 = \frac{\det\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}}{\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} } = \frac{5\cdot 4 - 2\cdot 6}{1 \cdot 4 - 2\cdot 3} = -4 \end{eqnarray}$ Für x_2 setzen wir den Lösungsvektor in die zweite Spalte ein: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Cramersche Regel: $\begin{eqnarray} x_2 = \frac{\det\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}}{\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} } = \frac{1\cdot 6 - 5\cdot 3}{-2} = \frac{9}{2} \end{eqnarray}$ Damit ergibt sich die Lösung $\begin{eqnarray} x = \begin{pmatrix}-4 \\ 4.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
05.04.2005, 15:30	Céleste	Auf diesen Beitrag antworten »
Lieber Tobias! Danke für deine Mühe, aber ich verstehe leider immer noch gar nichts. Nur weil ich das Determinantenverfahren anspreche, heißt das noch lange nicht, dass ich etwas von Mathematik verstehe. Im gegenteil. Ich bin nirgendwo so schwach wie in Mathe. Kann man denn die Aufgabe nicht ohne Vektoren, Fachchinesisch etc. erklären. ? Stell dir einfach vor, du hättest den größten Mathe-Idioten vor dir sitzen. Und versuche dann diesem Mathe-Idioten die Aufgabe zu erklären, indem du Schritt für Schritt erklärst, was du als nächstes machst. ich möchte gar nicht wissen, warum du es machst aber kappieren, WIE es geht, wollte ich schon.:-)
05.04.2005, 15:33	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Willst du damit jetzt sagen, dass du das Determinantenverfahren benutzen sollst, aber noch nie gelernt hast was Matrizen, Vektoren etc. sind, geschweige denn wie man eine Determinante ausrechnet?
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05.04.2005, 15:38	Céleste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, leider.
05.04.2005, 15:54	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist fast unmöglich, diese Grundlagen auf die Schnelle zu vermitteln. Wenn ich eine Ableitung schreibe, dann hast du keine Grundlagen verstanden sondern kannst nur einsetzen und ausrechnen. Das ist solange unproblematisch, bis man Übertragungsleistungen bringen muss und deshalb die Aufgabe nicht in das alte Muster passt. Ich kann dir trotzdem meine Beispielaufgabe nochmal ausführlicher vorrechnen. Wir nehmen ein Gleichungssystem, was deinem sehr ähnlich ist: $\begin{eqnarray} 1x + 2y = 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3x + 4y = 6 \end{eqnarray}$ Dieses Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Die Unbekannten sind x und y. Diese willst du ausrechnen. In jeder Gleichung existiert zu jeder Unbekannten ein Koeffizient. Z.B. ist in $\begin{eqnarray} 1x + 2y = 5 \end{eqnarray}$ 1 der Koeffizient von x und 2 der Koeffizient von y. Diese Koeffizienten schreibt man sich in eine Matrix. Eine Matrix besteht aus Zeilen und Spalten. In die erste Spalte schreiben wir die Koeffizienten von x, in die zweite Spalte die Koeffizienten von y. In der ersten Zeile stehen jeweils die aus der ersten Gleichung und in der zweiten die aus der zweiten Gleichung. Das ergibt dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ausserdem stellen wir noch einen Vektor auf, der aus den Lösungszahlen der Gleichungen besteht. Im Beispiel sind dies genau 5 und 6: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}5\\ 6\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Insgesamt bekommt dann das Gleichungssystem die Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn du das auf dein Gleichungssystem so übertragen kannst, hast du schon den ersten Schritt getan. Jetzt musst du noch wissen, wie man die Determinante einer 2 mal 2 Matrix (d.h. sie hat 2 Zeilen und 2 Spalten) ausrechnet. Die allgemeine Formel lautet: $\begin{eqnarray} \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a\cdot d - b\cdot c \end{eqnarray}$ Dann ist z.B. $\begin{eqnarray} \det \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 1\cdot 4 - 2\cdot 3 = 4 - 6 = -2 \end{eqnarray}$ Mit diesem Wissen kannst du jetzt nochmal versuchen, die Formel aus meinem vorherigen beitrag zu verstehen und es auf deine Aufgabe zu übertragen.
05.04.2005, 16:15	Céleste	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Das hast du sehr schön erklärt! Für meinen Bedarf reicht das erstmal... Vielen Dank! Céleste

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