windschiefe geraden

05.04.2005, 22:12

Monstar

windschiefe geraden

steh grad irgendwie aufm schlauch
A(3|2|3) B(9|2|11) C(1|-1|-8) und D(5|-4|a²-8)

die gerade ab und die gerade cd sind windschief.
für welchen wert von a wird der abstand der geraden minimal?

also beide geraden aufgestellt:
AB: X=3|2|3 + r 6|0|8

CD: X= 1|-1|-8 + s 4|-3|a²

kreuzprodukt is 24|6a²-32|-18

abstand windschiefer geraden is (a-b) * n0

alles klar aber wie krieg ich den minimalen abstand?

06.04.2005, 14:34

riwe

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RE: windschiefe geraden
c = a^2
das extremum erhält man wie üblich
$\begin{eqnarray*} f(c)=\mid (\vec{a} -\vec{b})\vec{n_0}\mid \Rightarrow f^\prime(c)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix} 3\\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
normieren und einsetzetn
und a = +/- sqrt(c)
w

06.04.2005, 15:05

N8schichtler

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RE: windschiefe geraden
Ich biete auch mal eine andere Methode:

Gegeben sind die zwei Geraden $\begin{eqnarray*} \vec{x_{1}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x_{2}} \end{eqnarray*}$ .
Den Abstand $\begin{eqnarray*} d(a)=\left|\vec{x_{1}}-\vec{x_{2}}\right| \end{eqnarray*}$ minimiert man mit $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}d=0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} d^2:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine gerade, nach oben geöffnete, ganz-rationale Funktion 4. Grades ist, findet man 2 Minima an den Stellen $\begin{eqnarray*} a=\pm a_{0} \end{eqnarray*}$ .

07.04.2005, 11:58

riwe

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RE: windschiefe geraden
@n8schichtlet
das scheint mir im prinzip derselbe weg, den ich vorgeschlagen habe, mit dem unterschied, dass
$\begin{eqnarray*} \mid \vec{x_1} -\vec{x_2} \mid \end{eqnarray*}$
nicht den abstand der 2 "geraden" liefert,
soweit ich weiß
werner

07.04.2005, 12:09

N8schichtler

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RE: windschiefe geraden
Das ist aber ja durch ein Wiedereinsetzen möglich. Allerdings ist die Aufgabenstellung auch etwas seltsam. Durch die dritte, frei wählbare Variable $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ können die beiden Geraden in vielen Fällen (wahrscheinlich auch hier) zum Schnitt gebracht werden. In diesem Fall ist der Abstand eh Null.

07.04.2005, 13:13

riwe

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RE: windschiefe geraden
hallo n8schichtler,
wenn ich mich nicht verrechnet habe, schneiden sich die 2 geraden nicht (a² = -3)
sonst wäre das sicher der einfachste weg

mit der "standardmethode" erhalte ich ohne gewähr
$\begin{eqnarray*} a=\pm \frac{5}{3} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$
werner

07.04.2005, 21:24

N8schichtler

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RE: windschiefe geraden
Hihi, ich wollte dir gerade schreiben, dass auch meine Methode $\begin{eqnarray*} a^2=-3 \end{eqnarray*}$ ergibt. Wie groß ist denn dein Abstand, ich versuche auch mal einen möglichst kleinen zu finden.

07.04.2005, 21:27

riwe

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RE: windschiefe geraden

Zitat:

Original von N8schichtler
Hihi, ich wollte dir gerade schreiben, dass auch meine Methode $\begin{eqnarray*} a^2=-3 \end{eqnarray*}$ ergibt. Wie groß ist denn dein Abstand, ich versuche auch mal einen möglichst kleinen zu finden.

hallo n8ler,
(ja und ich nehme an, darum steht auch a² dort und welche werte für a)
habe ich dir oben geschrieben
a=+/- 5/3*sqrt(3)
werner

07.04.2005, 21:35

N8schichtler

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RE: windschiefe geraden
Ja, ich denke, das ist schon Absicht, hast Recht.
Aber wenn ich einfach a=0 setze, erhalte ich einen recht kleinen Abstand (d<2).
Bist du sicher, dass dein a einen geringeren liefert?
Ich rechne aber auch noch mal nach, ob sich ein Fahler eingeschlichen hat.

07.04.2005, 21:38

riwe

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RE: windschiefe geraden
ich habe gerade ne freundin (platonisch) zu besuch, schicke dir nachher meine rechnung

w

07.04.2005, 21:52

N8schichtler

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RE: windschiefe geraden
Ich glaube, du hast einen Fehler gemacht:
Du berechnest einfach einen Extremwert, allerdings ist das ein maximaler Abstand, der minimale wird am Rand des Definitionsbereiches $\begin{eqnarray*} \left(a^2\in\mathbb{R}^{\ge 0}\right) \end{eqnarray*}$ angenommen, also bei $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ liefert einen größeren als $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ , aber einen deutlich kleineren als deinen.

Ich errechne einen minimalen Abstand für $\begin{eqnarray*} a=0, s=-\frac{625}{481}, r=-\frac{631}{481} \end{eqnarray*}$ und er beträgt $\begin{eqnarray*} d=\frac{729}{481}\approx 1,5 \end{eqnarray*}$ .

Wer bietet weniger?

P.S.: Frauenbesuch steht in der Rangliste eindeutig über Matheaufgaben!

07.04.2005, 23:02

riwe

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RE: windschiefe geraden
hallo n8schichtler,
das war sehr befruchtend, nämlich UNSERE konversation.
ich habe es noch einmal durchgerechnet, und kann bestätigen, das minimum liegt bei a = 0
der wert a=5/3sqrt(3) liefert ein maximum
(soll heißen f(a))
werner
ns. freundin (platonisch) ist weg

07.04.2005, 23:25

N8schichtler

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RE: windschiefe geraden
Welcher Mathelehrer verlangt denn solch ein Ergebnis von seinen Schülern? Letzlich hat mich nämlich ein Plot (sieht deinem ziemlich ähnlich) auf die Idee gebracht. Ohne Matheprogramm ist die Aufgabe schon sehr gemein, aber lass mich mal raten: der Lehrer hat auch nur das Extremum errechnet und nicht überprüft, ob es auch wirklich ein Minimum ist. Hoffentlich bemerkt das einer seiner Schüler.

@Monstar: Du darfst die Entdeckung als deine verkaufen, wenn du uns sagst, wie dein Lehrer darauf reagiert hat. geschockt

07.04.2005, 23:39

riwe

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RE: windschiefe geraden
vielleicht war er verwirrt,
besuch einer freundin (antiplatonisch)
aber du hast schon recht

(mein mist war: ich habe ja c = a² gesetzt, und da habe ich beim differenziern a= 0 "verloren", man soll es sich halt nicht zu einfach machen, ich muß das immer "zu fuß" rechnen, habe kein matheprogramm)
werner

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