Orthogonalität von Geraden

29.09.2007, 17:18

Yoshee

Orthogonalität von Geraden

Hi, ich habe mich an folgender Aufgabe versucht, vielleicht kann mich ja Jemand korrigieren? Danke schonmal!

Bestimme die Gerade h, die durch P geht und die Gerade g orthogonal schneidet:

$\begin{eqnarray*} P(0/1/1), g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, ich hab jetzt erstmal eine Ebene "erstellt", die durch P geht und zu g orthogonal ist:

$\begin{eqnarray*} E: ( \vec{x} -\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) *\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

in Koordinatendarstellung:
$\begin{eqnarray*} E:2x_1+3x_2+x_3=4 \end{eqnarray*}$

In Parameterform:
$\begin{eqnarray*} E:\vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt nehm ich den einen Richtungsvektor und Punkt P und mach davon Gerade g:
$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.09.2007, 17:23

Bjoern1982

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Du brauchst keine Ebene....einfach den Stüzvektor OP und einen Richtungsvektor ausdenken, der senkrecht zum Richtungsvektor von g steht (Skalarprodukt).

Edit:

Entschuldige, ich habe das Wort "schneidet" überlesen Big Laugh

Björn

29.09.2007, 17:24

therisen

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Hallo,

das kannst du auch billiger haben:

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} \left\langle\begin{pmatrix}-3\\2\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\3\\1 \end{pmatrix} \right\rangle=0 \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} h:\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-3\\2\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

29.09.2007, 17:53

Yoshee

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Ähm, ich hab das grad mal nach gerechnet, aber die Geraden von mir und the risen (hab inzwischen gesehn, dass ich n kleinen Fehler im Stützvektor hab Augenzwinkern

) schneiden leider die gegeben gerade nicht unglücklich

Also dürfte das wohl falsch sein ?

29.09.2007, 17:55

Bjoern1982

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Ja, ist falsch.

Schneide lieber Ebene und Gerade (Schnittpunkt S) und bilde PS als Richtungvektor.

Björn

29.09.2007, 21:12

Yoshee

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Ähm, ich denke du meinst, ich solle PS als Stützvektor nehmen, oder? und als Richtungsvektor nehme ich dann einfach wieder einen der beiden Richtungsvektoren der Ebene, gell?

29.09.2007, 21:18

Bjoern1982

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Nene, ich meinte es schon genauso wie ich es geschrieben hatte Augenzwinkern

Is doch bei einer Geraden in Parameterform immer so...du hast nen Punkt P gegeben, durch den die Gerade auf jedne Fall verläuft...also kann man den Vektor OP (mit O(0/0/0) ) schonmal als Stützvektor nehmen und dann brauchst du eben noch einen Punkt S der Geraden, den du durch den Schnitt deiner orthogonalen Hilfsebene und der Ausgangsgeraden g erhälst, was darüberhinaus sicher stellt, dass der Verbindungsvektor PS senkrecht zu g steht.

Jetzt klarer ? Mal es dir am Besten mal auf zum Nachvollziehen.

Gruß Björn

29.09.2007, 21:31

therisen

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Zitat:

Original von Yoshee
Ähm, ich hab das grad mal nach gerechnet, aber die Geraden von mir und the risen (hab inzwischen gesehn, dass ich n kleinen Fehler im Stützvektor hab Augenzwinkern

) schneiden leider die gegeben gerade nicht unglücklich

Wie Björn hatte ich das ebenfalls überlesen. Als kleine Wiedergutmachung zeige ich dir einen alternativen Lösungsweg (ohne Ebene):

Eine Gerade ist eindeutig festgelegt durch die Wahl zweier Punkte. Einen Punkt hast du bereits vorgegeben, nämlich P. Ein weiterer Punkt muss sich auf der Geraden g befinden und hat daher die Koordinaten $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2+2t\\4+3t\\6+t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit einem noch zu bestimmenden $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ (dann bist du fertig). Der Richtungsvektor von h ist also (ein skalares Vielfaches von) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2+2t-0\\4+3t-1\\6+t-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} g\perp h \end{eqnarray*}$ muss gelten

$\begin{eqnarray*} \left\langle\begin{pmatrix}2+2t\\3+3t\\5+t \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\3\\1 \end{pmatrix} \right\rangle\stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray*}$

Das liefert dir t und somit h.

Gruß, therisen

29.09.2007, 22:02

Yoshee

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Achso

Irgendwie hatte ich P für den Ursprung gehalten, ich dachte also, du meinst ich soll den Ortsvektor des Schnittpunkts nehmen...
na dann ist ja alles klar! Und die zweite Methode ist ja eigentlich noch besser! Aber in meinem Buch steht als Anmerkung ich soll das über ne Ebene machen...
Vielen lieben Dank an euch beide!

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