Extremalaufgabe mit Nebenbedingung! - Seite 2

10.04.2005, 13:57

JochenX

beachte auch, dass eine der rechteckseiten nicht zum umfang gehört....

U=1rechteckbreite+2rechteckhöhen+halbkreisumfang

dabei ist der halbkreisumfang=1/2 kreisumfang

mfg jochen

10.04.2005, 13:58

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieviel Seiten a und b hat der rechteckige Kanal ? Tipp mal mit dem Bleistift auf jede Seite und zähle mit.

Den Umfang des ganzen Kreisbogens kennst du. Wie groß ist dann der Umfang des halben Kreisbogens ?

Und jetzt der Umfang für beide (Rechteck und Halbkreis) zusammen.

10.04.2005, 14:01

N3R0

Auf diesen Beitrag antworten »

mhmm also u = 2a + b + 2 * pi * d/8

so in etwa??

10.04.2005, 14:06

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

So in etwa, aber noch nicht ganz.

Was hat das d dort zu suchen ?

Du hattest weiter oben geschrieben: "und für den kreis u = 2* pi * r"

Das stimmt für den Vollkreis. Aber für den Halbkreis ? Und was wäre das "r" in deiner Zeichnung ?

Du musst die Variablen r und d durch geignete Variablen aus deiner Zeichnung ersetzen.

10.04.2005, 14:13

N3R0

Auf diesen Beitrag antworten »

u = 2a + b + 2 * pi * b/8

10.04.2005, 14:27

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von N3R0
u = 2a + b + 2 * pi * b/8

prüfe den markierten teil bitte noch einmal ganz sorgfältig ...

10.04.2005, 17:26

N3R0

Auf diesen Beitrag antworten »

u = 2a + b + pi * b/8

so müsste es stimmen oder?? wenn gar net weiß ich net was ich falsch mache!!

10.04.2005, 17:39

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

ach geh, der Umfang des Kreises ist doch pi*b, dann ist der Umfang des halben Kreises pi*b/2.

Und jetzt schreibst du:

Nebenbedingung: U = ...... = 2 m

Diese Nebenbedingung kannst du auflösen nach z.B. a = ......

Dies setzt du ein in die Gleichung für die Hauptbedingung und erhältst so die Zielfunktion Q=Q(b) (ohne a), die ein Maximum werden soll.

10.04.2005, 17:43

N3R0

Auf diesen Beitrag antworten »

also dann u = 2a + b + pi * b/2 = 2m so?

10.04.2005, 17:50

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, und jetzt a=....

11.04.2005, 17:45

N3R0

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a = 1m - \frac{b}{2} - \frac{\pi*b}{4} \end{eqnarray*}$

stimmt das so???weiß das jemand???

11.04.2005, 20:52

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das stimmt so, aber ich würde trotzdem noch mit U anstelle eines Zahlenwertes rechnen, und erst im Endergebnis U=2 m einsetzen.

Dann ist deine Rechnung etwas allgemeiner und kann auch für ein anderes U als 2 m verwendet werden, und die Rechnung sieht so auch etwas "professioneller" aus.

Ich schlage also vor, du rechnest weiter mit $\begin{eqnarray*} a=\frac{U}{2} - \frac{b}{2}(1+\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ , auch wenn die Rechnung dadurch etwas komplizierter wird. Aber natürlich kannst du auch mit deinem Ergebnis weiterrechnen, es bleibt dir überlassen.

11.04.2005, 21:08

N3R0

Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber wo kommt die 1 in der klammer her?? und wo ist dein zweites b hin?? irgendwie versteh ich deine gleichung net?!?!

ne gut hat sich erledigt!!

$\begin{eqnarray*} F(a) = \frac{U}{2} - \frac{b}{2}* ( 1 + \frac{\pi}{2}) * b + \frac{\pi * b²}{8} \end{eqnarray*}$

stimmt das so?? die zielfunktion??

und dann muss ich die erste ableitung machen oder??

11.04.2005, 21:34

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Hauptbedingung $\begin{eqnarray*} F(a,b) = a * b + \frac{\pi*b² }{8} \end{eqnarray*}$ erhält man mit diesem Ausdruck für a $\begin{eqnarray*} F(a) = (\frac{U}{2} - \frac{b}{2}* ( 1 + \frac{\pi}{2})) * b + \frac{\pi * b²}{8} \end{eqnarray*}$ (mit einigen zusätzlichen Klammern), und dann die erste Klammer ausmultipliziert
$\begin{eqnarray*} F(a) = \frac{U}{2}b - \frac{b^2}{2}* ( 1 + \frac{\pi}{2}) + \frac{\pi * b²}{8} \end{eqnarray*}$

Das wäre dann die Zielfunktion, und diese muss jetzt abgeleitet werden nach b ...

11.04.2005, 21:39

N3R0

Auf diesen Beitrag antworten »

also war meine doch richtig? ausser das ich nicht ausmultiplizerit habe oder??

ich versuch mal die ableitung, poste sie gleich!!!

$\begin{eqnarray*} F(a) = \frac{U}{2} - \frac{2b}{2}* ( 1 + \frac{\pi}{2}) * b + \frac{\pi * 2b}{8} \end{eqnarray*}$

so müsste es stimmen!?!?

11.04.2005, 21:43

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, war richtig, bis auf die fehlenden Klammern

11.04.2005, 21:44

N3R0

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} F(a) = \frac{U}{2} - \frac{2b}{2}* ( 1 + \frac{\pi}{2}) * b + \frac{\pi * 2b}{8} \end{eqnarray*}$

so?!?!

11.04.2005, 21:57

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hat sich vorhin mein Posting mit deinem gekreuzt ...

Da war ein b ist zuviel, und bei F'(a) fehlt ein Strich, vergleiche hiermit:

$\begin{eqnarray*} F'(a) = \frac{U}{2} - \frac{2b}{2}* ( 1 + \frac{\pi}{2}) + \frac{\pi * 2b}{8} \end{eqnarray*}$
und gekürzt und zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} F'(a) = \frac{U}{2} - b*( 1 + \frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$

Rechne bitte nach, ob es stimmt ...

11.04.2005, 22:09

N3R0

Auf diesen Beitrag antworten »

auf das gekürzte und zusammengefasste komm ich irgendwie nicht!??!

11.04.2005, 22:15

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

gut, dann setze in der ungekürzten Version das F'=0 und rechne das zugehörige b aus.

11.04.2005, 22:16

N3R0

Auf diesen Beitrag antworten »

das gekürtze war falsch oder?? ok ich versuch b raus zu bekommen!! einen moment!!

$\begin{eqnarray*} b - \frac{\pi * b}{4} = \frac{U}{2} * ( 1 + \frac{\pi }{2}) \end{eqnarray*}$

weiter komm ich nicht!! wenn ich jetzte druch 4 teile dann stehen vorne ja 4b!! dann muss ich ja wieder durch 4 teilen und dann steht die 4 wieder unter dem pi * b

wie soll ich das machen?

11.04.2005, 22:45

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast dich verrrechnet/verschrieben, und die gekürzte war richtig, wie du gleich sehen wirst.

Aus F'=0 folgt ja $\begin{eqnarray*} 0 = \frac{U}{2} - b*(1+\frac{\pi}{2})+b*\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Jetzt alles mit b auf die rechte Seite bringen, ergibt
$\begin{eqnarray*} b*1+b*\frac{\pi}{2}-b*\frac{\pi}{4} = \frac{U}{2} \end{eqnarray*}$

und jetzt alles mit b zusammengefasst, ergibt
$\begin{eqnarray*} b*(1+\frac{\pi}{4}) = \frac{U}{2} \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} b = \frac{U}{2*(1+\frac{\pi}{4})} \end{eqnarray*}$

Bitte nachrechnen, und dann kannst du für U den Zahlenwert einsetzen und b ausrechnen.

11.04.2005, 23:12

N3R0

Auf diesen Beitrag antworten »

hab für b=1,7853 raus!!!

11.04.2005, 23:17

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg mal, eine Seite (b) = 1,785 m, kann das sein bei einem gesamten Umfang von 2 m, doch wohl schlecht.

Du musst von deinem Ergebnis den Kehrwert bilden, dann stimmt es.

11.04.2005, 23:21

N3R0

Auf diesen Beitrag antworten »

was heisst der kehrwert von 1,785??

11.04.2005, 23:23

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

zu einer zahl a<>0 ist a^{-1}=1/a der kehrwert......

11.04.2005, 23:28

N3R0

Auf diesen Beitrag antworten »

also dann b= 0,56

und was amche ich nun?? in irgend einer gleichung b nun einsetzten und dann a ausrechnen oder??

für a hab ich 0,28 raus!! stimmen diese 2 werte??

12.04.2005, 09:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich in meiner Rechnung keinen Fehler habe, dann stimmen die Werte.

12.04.2005, 15:11

N3R0

Auf diesen Beitrag antworten »

da komm ich dann am ende auf F(a;b) = 0,279950

stimmt das?? ist so eine kleine zahl?!?!?

12.04.2005, 15:20

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

größenordnung stimmt.....
2m umfang, wäre es nur das rechteck wäre es als quadrat maximal.... also F=0,5*0,5=0,25
mit aufgesetzem halbkreis und da bei kreisen das verhältnis fläche/umfang größer ist als beim quadrat, beträgt deine fläche etwa mehr.....

sollte also stimmen!
habs aber nicht explizit nachgerechnet!

mfg jochen

« vorherige Seite 12

Neue Frage »

Antworten »

Extremalaufgabe mit Nebenbedingung! - Seite 2

Verwandte Themen