K(x) Kurvendiskussion

06.04.2005, 19:25

Austi

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K(x) Kurvendiskussion

Hallo zusammen!

Ich soll eine Kurvendiskussion zu folgender Funktion erstellen:

$\begin{eqnarray*} K_t(x)=(e^{-x} - t)^2 \end{eqnarray*}$ , t Element von R+

y-Achsen-Schnittpunkt habe ich bei S (0 / 1-2t+t^2)

Komme bei den Nullstellen irgendwie nicht weiter...

Weiß da jemand was??

MfG
Austi

06.04.2005, 19:26

JochenX

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$\begin{eqnarray*} (e^{-x} - t)^2=0 \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} e^{-x} - t=0 \end{eqnarray*}$
wo ist das problem?

edit: und dann nah x auflösen solllte machbar sein, hm?
ausmultiplizieren der klammer ist unnötig......

06.04.2005, 19:27

grybl

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RE: K(x) Kurvendiskussion
würde gleich mal $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ durch u substituieren, binomische Forlmel auflösen, quadratische Gleichung lösen, zurücksubstituieren

06.04.2005, 19:46

Austi

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Danke für die flotte Hilfe... ja hat geklappt...

Nullstelle:
$\begin{eqnarray*} x=ln \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

1. Ableitung
$\begin{eqnarray*} K_t'(x)=2e^{-x}t-2e^{-2x} \end{eqnarray*}$
2. Ableitung
$\begin{eqnarray*} K_t''(x)=4e^{-2x}-2te^{-x} \end{eqnarray*}$
3. Ableitung
$\begin{eqnarray*} K_t'''(x)=2te^{-x}-8e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so??

MfG und Danke
Austi

06.04.2005, 20:32

aRo

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mit der kettenregel kommt man relativ leicht zum ziel.

06.04.2005, 20:34

Austi

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Ja, genau... das habe ich auch eben festgestellt Augenzwinkern

Augenzwinkern

habe ich mich verrechnet??

MfG
Austi

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06.04.2005, 20:36

aRo

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die 8 ist leider falsch, sonst siehts gut aus!

06.04.2005, 20:39

Austi

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meinen das die anderen auch so?? wäre sicher, dass die 8 da genauso hin muss, was bietest du denn ansonsten an??

MfG
Austi

06.04.2005, 20:42

aRo

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wwaaaahh!!!!

ich habe mich vertan! habe gedacht, die unterste wäre deine erste ableitung und dahin wäre umformen!!! *peinlich*
sorry!

alle deine Ableitung sind richtig!!!!!

Hammer

Hammer

SORRY!

06.04.2005, 20:45

Austi

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0 Problemo!!!

Habe in der Zwischenzeit weitergerechnet... Kommt da als einziger Extremwert x=0 heraus??

MfG
Austi

06.04.2005, 20:53

aRo

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der extremwert x=0 ist leider falsch!
diesmal bin ich mir ziemlich sicher :-)

06.04.2005, 20:56

Austi

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mist... komme da leider auf keinen anderen wert...

kannste mir dein vorgehen erklären und mir sagen, was heraus kommt??

MfG
Austi

06.04.2005, 20:59

Gast

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Die Nullstelle muß gleich dem Tiefpunkt sein, da es sich ja um eine quadratische Funktion handelt..

06.04.2005, 21:00

aRo

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ich würde dir raten, deine erste ableitung zu faktorisieren.

dann beachte, dass ein Produkt null wird, wenn einer der Faktoren null ist.

d.h.
$\begin{eqnarray*} -2*e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} e^{-x}-t = 0 \end{eqnarray*}$

kannst du weitermachen?

06.04.2005, 21:05

Austi

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so sieht das bei mir aus

$\begin{eqnarray*} 2e^{-x}t-2e^{-2x}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-x}t-e^{-2x}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-x}t=e^{-2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(t)*(-x)=-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -ln(t)*x=-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{t})*x=-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{t})*x+2x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x*(ln(\frac{1}{t})+2)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$

was stimmt nicht??

06.04.2005, 21:08

aRo

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in der zeile, wo du den ln anwendest stimmt etwas nicht.

beachte:
$\begin{eqnarray*} ln(a*b) = ln(a)+ln(b) \end{eqnarray*}$

06.04.2005, 21:09

Austi

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Zitat:

Original von aRo
$\begin{eqnarray*} -2*e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} e^{-x}-t = 0 \end{eqnarray*}$

wie kommst du denn auf $\begin{eqnarray*} -2*e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$ ??

man setzt doch die 1. Ableitung =0 ?!

06.04.2005, 21:12

Austi

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ohhhh jaaaaaa....

dieses mal hast du recht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Extremwert=Nullstelle

$\begin{eqnarray*} x=ln\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

06.04.2005, 21:13

aRo

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ja.

klammere bei der 1.ableitung $\begin{eqnarray*} e^{-x},2 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ aus.

jo!
hab ich auch Freude

Freude

Gruß,
aRo

06.04.2005, 21:17

Austi

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ah ja klasse... dann jetzt Wendepunkte!

$\begin{eqnarray*} x=ln\frac{1}{t}-ln\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Was meint der fleißiger Helfer??

MfG
Austi

06.04.2005, 21:20

aRo

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na dann leg mal los :-)

beachte bei der extremstelle:
$\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$

06.04.2005, 21:27

Austi

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ja t ungleich 0 muss doch wegen dem in der ausgangssituation angegebenen: t Element von R+

stimmt der Wendepunkt??

06.04.2005, 21:38

aRo

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jo.

die wenderstelle stimmt (Achtung! es ist noch kein WP!!)

vereinfache aber zu $\begin{eqnarray*} ln(2/t) \end{eqnarray*}$

gruß,
aRo

06.04.2005, 21:42

Austi

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wie macht man den aus

$\begin{eqnarray*} x=ln\frac{1}{t}-ln\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=ln\frac{2}{t} \end{eqnarray*}$

wie geht das?? smile

smile

06.04.2005, 21:47

aRo

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$\begin{eqnarray*} ln(a)-ln(b) = ln(a/b) \end{eqnarray*}$

06.04.2005, 21:56

Austi

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axo ok... dankeschön

nun zum entgültigen WP

$\begin{eqnarray*} K_t'''(ln\frac{2}{t})=2te^{-ln\frac{2}{t}}-8e^{-2*ln\frac{2}{t}} \end{eqnarray*}$

wie formt man den sowas um... verwirrt

verwirrt

06.04.2005, 22:03

aRo

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mit den potenz und logarithmus gesetzen..

mach doch mal einen anfang :-)

es kommt was ganz nettes raus.

gruß,
aRo

06.04.2005, 22:08

Austi

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sorry... aber da muss ich echt passen ... smile

smile

wenn du noch kurz die zeit hast... kannste mir sagen/schreiben, wie man das macht?? Bitte ! Wink

Wink

MfG
Austi

06.04.2005, 22:17

Austi

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oder du sagst mir, was da heruaskommen soll und ich versuche das zu bestätigen...

MfG
Austi

06.04.2005, 22:18

aRo

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sry, ich guck grad fußball :-)

habe nicht so zeit.

als ergebnis gebe ich einfach mal vor (hoffe es sei mir gestattet):

$\begin{eqnarray*} t-2t^2 \end{eqnarray*}$

06.04.2005, 22:21

Austi

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ich doch auch... das spiel ist richtig geil... bin unpateiisch!

wenn du zwischendurch zeit hast... wie kommst du denn bitte auf so ein kurzes ergebnis??

MfG
Austi

06.04.2005, 22:39

kikira

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$\begin{eqnarray*} K_t'''(ln\frac{2}{t})=2te^{-ln\frac{2}{t}}-8e^{-2*ln\frac{2}{t}} \end{eqnarray*}$

Man kann jede Zahl umschreiben in:

$\begin{eqnarray*} e^{lnZahl} \end{eqnarray*}$

z.b.

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{-3}{2}lnx} \end{eqnarray*}$

Nun muss man nach den ln-Gesetzen alles, was vor dem ln steht wieder unter den ln bringen, dann war das:

$\begin{eqnarray*} e^{lnx^{-\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

und nun hebt sich e^ln auf und es bleibt übrig:

$\begin{eqnarray*} x^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

und das kannst dann wieder umformen.

lg kiki

06.04.2005, 22:42

aRo

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beachte $\begin{eqnarray*} e^{ln(x)} = x \end{eqnarray*}$
weiterhin:
$\begin{eqnarray*} ln(x^t) = t*ln(x) \end{eqnarray*}$

damit ist das eigentlich zu machen!

aRo

PS. Jo spiel war geil! Bin normalerweise Bayern-Hasser, aber für die Punkte für die Bunderliga immer für Dt. Mannschaften. Schade dass verloren :-(

06.04.2005, 23:04

Austi

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Zitat:

Original von aRo

als ergebnis gebe ich einfach mal vor (hoffe es sei mir gestattet):

$\begin{eqnarray*} t-2t^2 \end{eqnarray*}$

danke für die hilfe...habe aber

$\begin{eqnarray*} t^2-2t^2 \end{eqnarray*}$ heraus!!

also $\begin{eqnarray*} -t^2 \end{eqnarray*}$ ...

schade... schlafen wohl jetzt alle schon... naja dann will ich auch mal in die falle

gute nacht
austi

07.04.2005, 14:27

aRo

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Zitat:

Original von Austi

also $\begin{eqnarray*} -t^2 \end{eqnarray*}$ ...

das versteh ich nicht? ..
bin mir bei meinem ergebnis eigentlich ziemlich sicher...

hm.
aRo

07.04.2005, 16:24

Austi

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hallo aRo...

nein nein du hattest recht! Ich habe das heute vorgerechnet und konnte so meine Note etwas verbessern! Danke, dass Du mir gestern Abend so weitergeholfen hast!

Jetzt habe ich bezüglich der Exponentialfunktionen einen größeren Durchblick gewonnen.

MfG
Austi

07.04.2005, 17:03

aRo

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bitte bitte!

freut mich, dass es was gebracht hat!! Freude

Freude

Gruß!

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