Probleme mit einer quatratischen Gleichung...

06.04.2005, 22:19

Equi

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Probleme mit einer quatratischen Gleichung...

Hi Leute,

könnt ihr mir möglicherweise mit folgender (Text)aufgabe weiterhelfen?

"Wie muss in der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2-8x+c=0 \end{eqnarray*}$ die Zahl c gewählt
werden, damit die Gleichung zwei Lösungen (genau eine Lösung, keine Lösung) hat?"

Muss hier mit der pq-Formel gearbeitet werden?

Ich weiß es leider nicht genau...

06.04.2005, 22:35

etzwane

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RE: Probleme mit einer quatratischen Gleichung...

Zitat:

Original von Equi
...
Muss hier mit der pq-Formel gearbeitet werden?
...

Ja, und zwar musst du untersuchen, für welches c der Wert unter der Wurzel positiv, = 0 oder negativ ist, denn dann erhältst du für x zwei, eine oder keine Lösung.

06.04.2005, 23:38

Equi

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RE: Probleme mit einer quatratischen Gleichung...
Danke für den Rat, aber wie untersuche ich denn, für welches c der Wert unter der Wurzel positiv, Null oder negativ ist?

Könntest du mir das vielleicht etwas genauer erklären?

Vielen Dank im Voraus.

06.04.2005, 23:56

mercany

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Erstmal musst du für die Gleichung die pq-Formel anwenden.

Also:
$\begin{eqnarray*} p = -8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q = c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1,x2 = 4 +- \sqrt{4^2-c} \end{eqnarray*}$

Jetzt machst du dir eine kleine Nebenrechnung, um rauszubekommen, welcher Wert für c gilt, damit die Diskriminante = 0 wird.

Und zwar:
$\begin{eqnarray*} 0 = 4^2 -c \end{eqnarray*}$

Nun nur noch umstellen, und schon bekommst du den Wert für c raus.
Anschliessend überlegst du dann noch welchen Wert c annehmen muss, damit der Wert der Diskirminante negativ und positiv wird.

Für den Wert der Diskriminante gilt:
Wenn 0, dann eine Lösung
Wenn positiv, dann zwei Lösungen
Wenn negativ, dann keine Lösung

Gruss
mercany

07.04.2005, 15:19

Equi

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Nur mal kurz zum Verständnis, ich kenne die pq-Formel als $\begin{eqnarray*} x1,x2=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{2}}-q \end{eqnarray*}$

Ist obenstehende Formel äqivalent zu derjenigen, ( $\begin{eqnarray*} x1,x2=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{p^2-c} \end{eqnarray*}$ ) die du benutzt hast?

"c" steht ja in diesem Fall für das absolute Glied (q) der Gleichung. Wie aber komme ich auf die Werte, welche für "c" stehen können?

07.04.2005, 15:23

derkoch

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überlege mal du hast eine wurzel! was könnte denn mit dem Argument unter der wurzel passieren?

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07.04.2005, 15:28

sommer87

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hi,

die pq formel lautet folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} x_{1;2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} \end{eqnarray*}$

q könntest du auch c nennen.
aber die anderen formeln stimmen so nicht.

mercany hat bereits einige schritte gemacht, ohne sie hinzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} x_{1;2}=4 \pm \sqrt{4^2-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\frac{-8}{2} \pm \sqrt{(\frac{-8}{2})^2-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =4 \pm \sqrt{\frac{64}{4}-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 4 \pm \sqrt{16-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 4 \pm \sqrt{4^2-q} \end{eqnarray*}$

ok?

10.04.2005, 17:22

Equi

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Die Formeln kann ich soweit nachvollziehen, dennoch kann ich die Aufgabe immer noch nicht lösen...

Kann ich nur durch ausprobieren erfahren, welchen Wert "c" haben muss, damit das Ergebnis positiv, negativ oder gleich Null ist?

MfG

11.04.2005, 15:11

babelfish

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schau mal, du weißt, dass man im bereich der reellen zahlen keine wurzeln aus negativen zahlen ziehen darf.
also hat die gleichung keine lösung, wenn die wurzel negativ ist! du musst dir also einen wert für c/q suchen, bei dem der term

4^2 - q

negativ wird! hier kannst du einen bestimmten bereich für q angeben.

ziehst du die wurzel aus null, kann es ja nur eine lösung für die gleichung geben, denn ob du nun $\begin{eqnarray*} \sqrt{0} \end{eqnarray*}$ (also 0) von der 4 addierst oder subtrahierst macht ja keinen unterschied!
hier gibt es nur eine möglichkeit für q.

zwei lösungen für die gleichung gibt es, wenn die zahl unter der wurzel einen positiven wert an nimmt. hier musst du also werte für q suchen, bei denen bei

4^2 - q

ein positives ergebnis herauskommt!
hier gibts wieder mehrere möglichkeiten...

11.04.2005, 22:11

Equi

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Hi, also soweit ich das jetzt verstanden habe, muss c/q den Wert 16 für ein Ergebnis, einen Wert der größer ist als 16 (16>) für kein Erbebnis und einen Wert der kleiner ist als 16 (<16) für zwei Ergebnisse haben.

Ist das so richtig?

12.04.2005, 01:13

JochenX

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japp stimmt genau!

um noch ein schönes wort zu nennen: das da unter der wurzel, dasss über die anzahl der lösungen entscheidet nennt man diskriminante!

mfg jochen

12.04.2005, 21:32

Equi

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Ähm, ich hätte da noch eine Frage:

Wieso ist eigentlich nur die Zahl unter der Wurzel relevant? Müsste diese nicht eigentlich noch mit der 4 am Anfang (p/2) addiert und subtrahiert (was ja in dieser Aufgabe zu unterschiedlichen Ergebnissen führen würde) werden, um auf ein Endergebnis zu kommen, welches dann positiv, negativ oder gleich Null ist?

Ich bin etwas verwirrt...

12.04.2005, 21:49

babelfish

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aber du hast ja schon das p gegeben, nämlich -8!
also kanns ja nich davon abhängen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.04.2005, 23:38

Equi

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Aha...

... also daraus schließe ich, das für diese Aufgabenstellung "nur" der Wurzelterm relevant ist, richtig?

13.04.2005, 08:15

derkoch

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ganz genau! Freude

Freude

13.04.2005, 10:19

mercany

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DENN:

Zitat:

Original von mercany
Für den Wert der Diskriminante gilt:
Wenn 0, dann eine Lösung
Wenn positiv, dann zwei Lösungen
Wenn negativ, dann keine Lösung

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