lineare Unabhängigkeit

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fortu Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Unabhängigkeit
hallo leute....

hätte da eine frage, oder besser gesagt eine aufgabe, bei der ich wirklich keine ahnung habe, was zu tun ist:

wir betrachten den reellen Vektorraum der stetigen Funktionen von [0, 2] in

es ist zu zeigen, dass {f0, f1,....... fn}mit fo(x) = -1 und
fk(x)= e^(ikx) für k = 1, ......., n
linear unabhängig sind.....

wäre wirklich froh um jegliche hilfe......
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erinnere mich nur noch ganz dunkel an etwas Ähnliches.

Wir hatten mal einen (Laplace-) Operator und eine ähnliche Menge von Funktionen. Wir haben gezeigt, dass die Funktionen Eigenfunktionen bezüglich des Operators sind, d.h.



Dann kann man zeigen, dass die Funktionen f0, f1, ... linear unabhängig sind, wenn sie Eigenfunktionen eines linearen Operators sind und paarweise verschiedene Eigenwerte haben.

Trifft das in etwa den Kontext, in dem diese Aufgabe gestellt wurde?

bei deiner Funktion denke ich nämlich an so etwas wie den Ableitungsoperator

fortu Auf diesen Beitrag antworten »

hallo tobi.....

momentan hab ich keine ahnung, wie ich das anstellen könnte, aber ja, würde genau in den kontex passen.....
nur eben, irgendwie klingt das alles noch etwas schwierig für mich.... schaus mir mal ne weile an =)

jedenfalls ganz ganz herzlichen dank......


also, hab mir das ganze nochmals angeschaut....
allerdings weiss ich immer noch nicht, wie ich einen passenden operator finden kann, denn ich kann mir nicht wirklich was darunter vorstellen, und auch wie ich bestimmen kann, dass es sich um eigenfunktionen handelt... hoffe ihr hält mich jetzt für keinen hoffnungslosen fall =)

wäre froh wenn mir jemand noch etwas weiterhelfen könnte... =)

liebe grüsse

edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare Unabhängigkeit
Hallo fortu,

also so ganz präsent habe ich die Theorie auch nicht mehr. Ich kann dir nur einen Denkanstoss geben:

Für mich sehen deine Funktionen , , wie die komplexen trigonometrischen Grundpolynome aus (den Fall mit müssen wir dann noch gesondert ansehen).
Auf deinem Funktionenraum kann du jetzt eine Skalarprodukt definieren und ihn damit zu einem HILBERT-Raum machen:
. Das Skalarprodukt induziert eine Norm und du hast einen vollständigen normierten linearen Raum über , eben einen HILBERT-Raum. Für diesen Raum bilden deine Funktionen ein orthogonales Funktionensystem bezüglich dem oben definierten Skalarprodukt, demzufolge eine Basis und daraus folgt die lineare Unabhängigkeit. Die Orthogonalität zeigst du wie folgt:
1. ( ist eine Untermenge von )
2.
Ja, und was mache ich jetzt mit . Nach dieser Gehirnakrobatik ist mir doch wirklich die Puste ausgegangen. Ich lasse es aber trotzdem stehen. Wäre froh, wenn das ein Profi überprüfen könnte. Bin selber gespannt, ob ich richtig liege oder das ganze ein Schmarren ist verwirrt .

Gruss yeti
fortu Auf diesen Beitrag antworten »

wow..... wüsste nicht wie ich auf solche ideen hätte kommen können, hatten noch nie was in dieser art..... aber schon mal herzlichen dank.... schau mir das ganze gleich noch genauer an.....
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo fortu,

ich denke, wir sehen das Alles viel zu kompliziert. Lass uns doch einfach eine Linearkombination ansetzen, wie das für den Nachweis der linearen Unabhängigkeit gemacht wird:

Wegen der verschiedenen Potenzen der exp-Funktionen ist diese Bedingung nur erfüllt, wenn gilt. Und damit ist der Beweis der linearen Unabhängigkeit bereits erbracht.

Du könntest jetzt noch zeigen, dass deine Grundfunktionen ein Erzeugendensystem bilden und hättest damit gezeigt, dass sie dadurch eine Basis für den Vektorraum der komplexen trigonometrischen Polynome vom Grad n bilden (dim V = n+1).

Gruss yeti
 
 
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte es so gemacht.

Man nehme den Laplace-Operator

Dann gilt für diene Funktionen:



Dann ist also der Eigenwert von f_k(x) bezüglich L eben i*k.

Für alle k ist auch i*k verschieden.

Also haben wir paarweise verschiedene Eigenwerte. Das ist (hoffentlich) inreichend dafür, dass alle f_k linear unabhängig sind.
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

@Tobias:

Ich denke, du hast recht. Die sind die paarweise verschiedenen Eigenwerte und die die zugehörigen, paarweise verschiedenen Eigenvektoren. Gemäss einem Satz der Theorie gilt dann, dass die direkte Summe der Eigenvektoren den Vektorraum V aufspannen und damit eine Basis bilden (welche die lineare Unabhängigkeit beinhaltet).

Gruss yeti
fortu Auf diesen Beitrag antworten »

hey leute, danke.... =)
langsam beginn ich die aufgabe zu verstehen... musste sie aber bereits abgeben....egal, man lernt ja fürs leben.......

also dankeschön und n schönen tag noch...
sdgdghfgj Auf diesen Beitrag antworten »

Aslo das is ganz einfach du rechnst den alpha winkel mal den gamm a winkel halbierts das durch x + y mal ä und du hast ß dan mahcst du ne lineare funktion die du in ein achsenkreuz einzeichnest da s macht dir sicher auch spaß dan musst du nur noch en bis zwei mal addieren und nochmal nachrechnen den wir wissen ja erst denken dan rechnen dan nochmal denken und erst fragen Ne skizze kann helfen aslo macht das drei mal wenn du dan weist was ich weiß wirst du Springen (vom dach ) ganz sicher sia
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