Beweis für Stetigkeit

06.04.2005, 23:28

pelzor

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Beweis für Stetigkeit

Hi ich hab ein Problem mit dieser Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}x,\; fuer\; x\in\mathbb Q ;\\1-x,\; fuer\; x\in\mathbb R \backslash \mathbb Q . \end{cases} \end{eqnarray*}$
Beweisen sie:
a) f ist nur im Punkt x=1/2 stetig;
b) f ist bijektiv.

Ich hab keine Ahnung! unglücklich

unglücklich

Danke für eure Mühe!

(Danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

06.04.2005, 23:36

hummma

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Bei Latex kann ich dir zumindest helfen: \backslash
Schau dir mal den Link an.

07.04.2005, 00:27

Tobias

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Es handelt sich bei f um zwei Geraden (nicht kontinuiierlich), die sich an der Stelle x=1/2 schneiden.

Die Definition der Stetigkeit hat meines Wissenes etwas mit dem rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert zu tun. Nur an dieser Stelle sind beide identisch.

Ganz nützlich sollte noch der Satz sein, dass zwischen zwei reellen Zahlen unendlich viele Rationale liegen.

b) ist anschaulich eigentlich auch klar. Es reicht ja aus, dass beide Funktionen für sich bijektiv auf ihrer Bildmenge sind und die beiden Bildmengen eine Partition von IR bilden. D.h. für irrationales x ist 1-x auch irrational und für rationales x ist die Identität natürlich auch rational.

07.04.2005, 01:41

Ace Piet

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> Die Definition der Stetigkeit

Nimmt man eine Definition über Folgenkonvergenz, stellt man bei x != 1/2 fest, dass geschickt gewählte Folgen Funkt.-Punkte in beiden Ästen haben, die aber den Abstand |2x -1| haben. - Die Folge der Funktionswerte konv. also nicht...

Nimmt man die "Eps-Delta"-Definition, zeigt sich dieser Umstand ebenfalls... Wähle eps < |2x -1|, dann ist unabhängig von Delta die Bedingung |f(x) - f(y)| < eps NIE zu erfüllen, ausser eben bei x= 1/2.

07.04.2005, 09:24

n!

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f lokal stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ,wenn

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$

wende das doch hier mal auf deine Werte an

07.04.2005, 14:13

pelzor

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also so vorstellen kann ich mir das allen wunderbar... ich hab leider das problem, dass ich das nich in mathematisch korrekte formeln darstellen kann.
ich würde gern verstehen wie man das mit diesem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ macht, damit hab ich auch noch so meine probleme.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0}} x =x_{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0}} 1-x =1-x_{0} \end{eqnarray*}$
meinst du das mit auf die werte anwenden?

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07.04.2005, 14:49

Ace Piet

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Die Definition mit lim f(x) verschleiert einen Umstand... die Bildung des Grenzwertes läuft über alle x aus R.

Schränkt man in einem Fall x auf rat. Werte ein, besitzt die Funktion f den Häufungspunkt f(x)=x.

Im anderen Fall ...rein irrationale Werte..., gibt es den Häufungspunkt f(x)= 1-x

Die haben den Abstand |2x -1| voneinander, was bei x!=1/2 bedeutet, dass es keinen "Grenzwert" gibt, sondern nur 2 Häufungspunkte.

Egal welche Def. von Stetigkeit ich anwende, ich stolpere stets über die Unterscheidung x rational / nicht rational...

Bei der ansonsten unbequemen eps-delta-Definition hast Du den Nachweis der Unstetigkeit, indem Du die 2 Ungleichungen (oben) hintereinander schreibst.

07.04.2005, 15:18

pelzor

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nö irrgendwie immer noch nich...
Ich versteh gar nich wie ihr auf den Abstand |2x -1| kommt.
Und was meinst du denn jetzt mit Häufungspunkt?
Und erlich gesagt schnall ich das x!=1/2 auch nich... traurig

traurig

(oder soll das gar kein Fakultätszeichen sein?)

07.04.2005, 15:33

JochenX

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Zitat:

Schränkt man in einem Fall x auf rat. Werte ein, besitzt die Funktion f den Häufungspunkt f(x)=x.

ich glaube davon nehmen wir mal lieber abstand.....
ein häufungspunkt ist ein reeller wert bei folgen, ich bin mir nicht mal sicher, ob man das für funktionen über IR auch definiert.....

und x ist nicht konstant.....

mfg jochen

08.04.2005, 00:32

Mathespezialschüler

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@LOED
Eine Folge hat keinen Häufungspunkt, es sei denn, du definierst diesen Begriff auch für Folgen irgendwie Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine Folge hat höchstens einen Häufungswert:

Die Zahl a heißt Häufungswert der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ , wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ unendlich viele $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, für die

$\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt.

Und wegen der Häufungspunkte, da gilt folgende Definition, die vor allem in der Grenzwerttheorie bzw. -definition eingesetzt wird:
Eine Zahl $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ heißt Häufungspunkt der Menge $\begin{eqnarray*} X \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ , wenn es eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gibt, die gegen $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ konvergiert, für die aber

$\begin{eqnarray*} x_n\neq \xi\qquad \forall\ n\in \mathbb N\ \ \end{eqnarray*}$ gilt.

Oder gleichbedeutend:
Eine Zahl $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ heißt Häufungspunkt der Menge $\begin{eqnarray*} X \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ , wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x\in X\backslash \{\xi\} \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} |x-\xi|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

smile

smile

10.04.2005, 22:56

pelzor

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Ja also das mit den Häufungspunkten das lassen wir mal schnell wieder, das hatten wir nämlich noch nicht!
Also wir haben uns da jetzt mal was eigenes überlegt:
-Wir haben diese Definition von Stetigkeit:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_{n}=x_{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(x_{n})=f(\lim_{n \to \infty } x_{n})=x_{0} \end{eqnarray*}$

Jetzt soll gelten $\begin{eqnarray*} x_{0}\in \mathbb Q \; ; \; x_{n}\in \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann gilt auch $\begin{eqnarray*} f(x_{0})=x_{0} \; ; \; f(x_{n})=1-x_{n} \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_{n})=1-x_{0} \end{eqnarray*}$ für Stetigkeit gelten muss folgt $\begin{eqnarray*} x_{0}=1-x_{0} \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \;x_{0}=1/2 \end{eqnarray*}$ .
Ist das so richtig? Ich glaube ja noch nicht daran, aber aus euren Erklärungen bin ich irrgendwie diesmal nich schlau geworden.

10.04.2005, 23:23

Frooke

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Noch was zum verunglückten Fakultätszeichen:
Wenn ich schreibe:
$\begin{eqnarray*} f(x)\stackrel{!}{=}0 \end{eqnarray*}$
dann bedeutet das, daß f(x) gleich null sein soll! Das schreibt man so, weil f(x) vielleicht gar keine Nullstelle hat und ausserdem ja nicht für jedes x null ist...

Es gibt sogar die Schreibweise (bei Symmetrieuntersuchungen usw.)
$\begin{eqnarray*} f(-x)\stackrel{?}{=}f(x) \end{eqnarray*}$

Und wenn man den Formeleditor nicht benutzt, gibts dann halt solches...

In diesem Sinne muss man auch aufpassen mit Sätzen wie: Die Antwort lautet 3! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nuja, das nur nebenbei... Gute Nacht an alle Schläfer

Schläfer

10.04.2005, 23:52

Mathespezialschüler

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@pelzor
Ja, richtig! Aber deine Idee reicht erstmal nur für die Gegenbeispiele:

Sei $\begin{eqnarray*} x_0\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0\neq 0{,}5 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(x_0)=x_0\neq 1-x_0 \end{eqnarray*}$ . Man wähle eine Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ irrationaler Zahlen, die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Dann strebt $\begin{eqnarray*} f(x_n)=1-x_n\to 1-x_0\neq f(x_0) \end{eqnarray*}$ , also kann f nicht stetig sein in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Versuch das mal genauso für irrationale $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ zu machen, da vertauschst du einfach die Rollen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Und für $\begin{eqnarray*} x_0=0{,}5 \end{eqnarray*}$ : Hier weißt du ja, dass es stetig ist. Dann musst du aber für jede Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n\to 0{,}5 \end{eqnarray*}$ zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} f(x_n)\to f(0{,}5) \end{eqnarray*}$ geht! Du hast es jetzt nur für irrationale Folgen gezeigt. Mach es so:

Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge, die $\begin{eqnarray*} \to 0{,}5 \end{eqnarray*}$ geht. Unterteile jetzt die Folge in zwei Teilfolgen:
1. in die Teilfolge $\begin{eqnarray*} x_{i_k} \end{eqnarray*}$ rationaler Zahlen
und
2. in die Teilfolge $\begin{eqnarray*} x_{j_k} \end{eqnarray*}$ irrationaler Zahlen.

Zeige dass sowohl $\begin{eqnarray*} f\left(x_{i_k}\right)\to f(0{,}5) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} f\left(x_{j_k}\right)\to f(0{,}5) \end{eqnarray*}$ geht und schließe daraus, dass auch $\begin{eqnarray*} f(x_n)\to f(0{,}5) \end{eqnarray*}$ gehen muss.

11.04.2005, 12:09

JochenX

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@LOED
Eine Folge hat keinen Häufungspunkt, es sei denn, du definierst diesen Begriff auch für Folgen irgendwie Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine Folge hat höchstens einen Häufungswert

da habe ich wieder ein analysisbegriffe verdreht Hammer

Hammer

.... danke.....

11.04.2005, 13:47

AD

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@LOED
Eine Folge hat keinen Häufungspunkt, es sei denn, du definierst diesen Begriff auch für Folgen irgendwie Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine Folge hat höchstens einen Häufungswert

Die LOEDsche Hammer

Hammer

-Selbstkritik ist völlig unnötig: Ich kenne den Begriff auch für Folgen als Häufungspunkt, und die große Autorität "Wikipedia" für alles und jedes ( Big Laugh

Big Laugh

, nicht ganz ernst gemeint) sieht das auch so:

http://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%A4ufungspunkt

Häufungswert ist mir dagegen weniger geläufig, klingt aber ganz logisch und ist vermutlich neuere Didaktikschule. verwirrt

verwirrt

11.04.2005, 14:01

JochenX

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also gehört habe ich beides schon, und wir haben in der grundvorlesung analysis 1 (und 2) auch beides gehabt....
und der "nichtisolierte punkt" einer menge als häufungspunkt, dass kommt mir schon sehr bekannt vor....

aber das ein solcher häufungs-watauchimmer konstant sein muss (als reeller wert oder als punkt) und das dann f(x)=x keinen häufungs-watauchimmer bei x haben kann, da sind wir uns einig?

mfg jochen

11.04.2005, 14:17

AD

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Der Begriff "Häufungspunkt für Funktionen" ist mir nicht geläufig - meint man damit (topologische) Häufungspunkte der Punktmenge { (x,f(x)) | x aus DB(f) } ?

Falls das so ist, dann sind im vorliegenden Fall (x,x) und auch (x,1-x) für alle reellen x Häufungspunkte der Funktion f, natürlich gemäß der durch die euklidische Metrik bestimmten Topologie des IR².

12.04.2005, 09:36

pelzor

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Ok ich denke das sollte reichen! Vielen Dank! Prost

Prost

Prost

Tanzen

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