Vollständige Induktion

30.09.2007, 00:22

Ungewiss

Vollständige Induktion

Guten Abend zusammen,

ich hab hier eine Aufgabe die Mittels vollständiger Induktion gelöst werden soll, doch komme ich alleine nicht so auf den rechten Weg und bitte euch hiermit um Hilfe.

Erstmal den Aufgabentext:
Zeigen Sie: Für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N , n \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist die Summe aller natürlichen Zahlen echt kleiner als (ich wusste nicht wie ich das Symbol in Latex darstellen kann) $\begin{eqnarray*} 10 \cdot n \end{eqnarray*}$ , die weder durch 2 noch durch 5 teilbar sind, gleich $\begin{eqnarray*} 20 \cdot n^2 \end{eqnarray*}$ .

Also im Prinzip doch:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\text {echt kleiner} 10 \cdot n}k = 20 \cdot n^2 \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{9}~k = 20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+3+7+9=20 \end{eqnarray*}$

Induktionsannahme $\begin{eqnarray*} n=n_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\text {echt kleiner} 10 \cdot n_0}k = 20 \cdot n_0^2 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n=n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\text {echt kleiner} 10 \cdot (n+1)}k = 20 \cdot (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\text {echt kleiner} 10 \cdot n + 10}k = 20 \cdot (n^2+2n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\text {echt kleiner}~ 10 \cdot n}k + \sum_{p=10 \cdot n}^{\text{echt kleiner} ~10n +10}~p = 20 \cdot (n^2+2n+1) \end{eqnarray*}$

Nach Induktionsannahme
$\begin{eqnarray*} 20\cdot n^2 + \sum_{p=10 \cdot n}^{\text{echt kleiner} ~10n +10}~p = 20n^2 + 40n + 20 \end{eqnarray*}$

Ab hier weiß ich nicht mehr, was ich tun soll. Ich habe auf beiden Seiten noch $\begin{eqnarray*} -20n^2 \end{eqnarray*}$ gerechnet, aber weiter bringt mich das doch nicht wirklich, denn dann bleibt übrig:

$\begin{eqnarray*} \sum_{p=10 \cdot n}^{\text{echt kleiner} ~10n +10}~p = 20 \cdot (2n +1) \end{eqnarray*}$

Ich fänd schon sehr nett, wenn mir einer sagen könnte ob ich überhaupt den richtigen Weg eingeschlagen habe, da ich ja auf keine wirkliche Lösung komme. Schonmal Danke für eure Beiträge.

30.09.2007, 02:42

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Weg war bis hierhin eigentlich OK. Allerdings schreibst du deine Gedanken oft nicht richtig auf. Z.B. muss unter dem Summenzeichen die Information angegeben werden, dass k (bzw. p) weder durch 2 noch durch 5 teilbar sein soll. Man muss schon ein wenig raten, was du meinst.

Du hast jetzt zu zeigen

$\begin{eqnarray*} \underset{p\text{ teilt weder 2 noch 5}}{\sum_{p=10n}^{10n+9}p} = 40n+20. \end{eqnarray*}$

Mach dir an einem Beispiel (z.B. n = 5) klar, welche Zahlen du da zu überprüfen hast.

30.09.2007, 14:47

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deinen Beitrag! Ich habe jetzt mal versucht mit deinem Hinweis weiter zu machen, bin mir aber nicht sicher, ob das was ich hier mache "erlaubt" ist. Und sorry wegen der Darestellung in meinem Anfangspost im Thread hier.

$\begin{eqnarray*} \underset{p\text{ teilt weder 2 noch 5}}{\sum_{p=10n}^{10n+9}p} = 40n+20. \end{eqnarray*}$

Mal wie du sagtest für $\begin{eqnarray*} n = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underset{p\text{ teilt weder 2 noch 5}}{\sum_{p=50}^{59}p} = 220. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 51 + 53 +57 + 59 = 220. \end{eqnarray*}$

Hmm, das einzige was mir jetzt spontan auffällt, ist, dass zuerst zwei, dann vier und dann wieder zwei zu dem vorherigen Glied addiert werden.

$\begin{eqnarray*} \underset{p\text{ teilt weder 2 noch 5}}{\sum_{p=10n}^{10n+9}p} =(10n+1) + (10n+3) + (10n+7) + (10n+9) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (10n+1) + (10n+3) + (10n+7) + (10n+9)= 40n+20 = 20(2n+1) \end{eqnarray*}$

30.09.2007, 14:49

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ungewiss
$\begin{eqnarray*} \underset{p\text{ teilt weder 2 noch 5}}{\sum_{p=10n}^{10n+9}p} =(10n+1) + (10n+3) + (10n+7) + (10n+9) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (10n+1) + (10n+3) + (10n+7) + (10n+9)= 40n+20 = 20(2n+1) \end{eqnarray*}$

Genau so geht's. Freude

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion

Verwandte Themen