[Übung] Parabel + Rechteck

12.02.2004, 16:53	Daniel	Auf diesen Beitrag antworten »
[Übung] Parabel + Rechteck so mal wieder eine übung bitte Lösung direkt mit weg posten. *Aufgabe:* Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung y=4-ax² mit a>0 . In das Parabelsegment über der X-Achse soll ein Rechteck grösstem Umfangs mit einer Seite auf der X-Achse einbeschrieben werden. hf beim Lösen
11.03.2004, 15:16	jama	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ist die Lösung noch offen. Also wer möchte, ran an die Wurst Gruß, Jama
11.03.2004, 17:56	Drödel	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Hilfe der Analysis ist das rel. schnell gelöst. Sie f(x):=4 - ax^2 Das über der x-Achse einbeschriebene Rechteck hat die beiden oberen Eckpunkte auf der Parabel, d.h. es hat bei vorgegebener "Halbbreite" b (vom Ursprung aus in positive Richtung gerechnet) die Höhe f(b)=4-ab^2 Der Flächeninhalt A beträgt damit A(b) = 2Halbbreite Höhe = 2b(4-ab^2) Damit der Flächeninhalt maximal werden kann suche man ein Maximum der Funktion A(b). Dazu muss die erste Ableitung A'(b)=0 und die zweite Ableitung A''(bo) < 0 (für die Nullstelle bo der ersten Ableitung) sein. A'(b)=(4b-2ab^3)' = 4-6ab^2 =0 => 4 = 6ab^2 => b^2 = 4/(6a) = 2/(3a) A''(b) = -12ab . Da dies bei a>0 nur für b>0 (negative Breiten machen wohl geometrisch auch wenig Sinn) negativ werden kann, muss b damit die positive Wurzel aus 2/(3a) sein Happy Mathing UUPS - Ich lese da gerade ... größten Umfangs.... Na gut, dann halt das ganze mit Umfang U(b) = 4b + 2(4-ab^2) = 4b+8-2ab^2 U'(b) = 4 -4ab =0 => 4 = 4ab => b = 1/a U''(b) = -4a <0 , da a >0 Daher Umax =4b + 2(4- (1/b) b^2) = 4b +2*(4-b) = 2b+8 = 2/a +8

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