Wegintegral eines Gradientenfelds

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07.04.2005, 13:03	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegintegral eines Gradientenfelds Da morgen die Klausur ist, rechne ich gerade die Probleklausr durch. In einer Aufgabe steht: Bestimmen sie das Gradientenfeld der Funktion $\begin{eqnarray} x\sin(y^2z) \end{eqnarray}$ und das Wegintegral dieses Gradientenfelds längs des Weges $\begin{eqnarray} \gamma:[0,5]\to R^3, \gamma(t)=(1+t,e^t,t^2-5t) \end{eqnarray}$ Das Gradientenfeld habe ich bestimmt als: $\begin{eqnarray} grad=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\\\frac{\partial f}{\partial y}\\\frac{\partial f}{\partial z}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin(y^2z)\\2xy\cos(y^2z)\\x\cos(y^2z)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nur wie berechne ich jetzt das Wegintegral entlang des Weges? Meine Idee war: $\begin{eqnarray} \int_0^5\begin{pmatrix}1+t\\e^t\\t^5-5t\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}t+\frac{t^2}{2}\\e^t\\\frac{t^6}{6}-\frac{5t^2}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(5+\frac{25}{2})-0\\e^5-1\\(\frac{5^6}{6}-\frac{125}{2})-0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Ergebniss hätte ich dann jeweils in das Gradientenfeld eingesetzt. So scheint es mir jedoch nicht zu funktionieren
07.04.2005, 13:14	Elea	Auf diesen Beitrag antworten »
das feld gibt dir an in welcher richtung welche kräfte wirken... es soll aber nur die arbeit längs eines weges berechnet werden, soweit ich das verstanden habe... oder du berechnest erst die einzelkomponeten aus, nach W = integral in den grenzen 0 bis 5 = F_s(s) ds und die summe aller W sollte dann die arbeit ergeben die an diesem gradientenfeld verrichtet werden müßte. ich kenn mich mit der intergration von 3 wegrichtungen nicht so gut aus... müsste aber auch komponentenweise funktionieren
07.04.2005, 13:19	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
hm... Ich hoffe doch der Athur Dent kommt noch online, der hat mir bisher immer weiterhelfen können...
07.04.2005, 13:42	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, dann will ich das in mich gesetzte Vertrauen mal rechtfertigen. Es ist $\begin{eqnarray} \gamma(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\ y(t)\\ z(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+t\\ e^t\\ t^2-5t\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , außerdem sei deine Funktion mit $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=x\sin(y^2z) \end{eqnarray}$ bezeichnet und der Weg im IR³, über den du integrierst, mit S. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \int\limits_S~(\nabla f)(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\gamma=\int\limits_0^5~(\nabla f)(x(t),y(t),z(t))\cdot\frac{\partial\gamma(t)}{\partial t}\,\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ steht für das Skalarprodukt, und rechts steht dann "nur" noch ein gewöhnliches reelles Integral; die Ableitung $\begin{eqnarray} \frac{\partial\gamma(t)}{\partial t} \end{eqnarray}$ geschieht natürlich komponentenweise.
07.04.2005, 13:51	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
@Arthur: ist es nicht so, dass in einem ein Gradientenfeld das Kurvenintegral wegunabhängig ist? Dh., man muss gar nicht integrieren, sondern nur die Potentialdifferenz zwischen Anfangs- und Endpunkt berechnen. Oder liege ich da völlig falsch Gruss yeti
07.04.2005, 14:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@yeti777 Jetzt hast du alles verraten. - das wird wohl die Absicht dieser Aufgabe gewesen sein.
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07.04.2005, 14:04	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich dich richtig verstehe, würde es so weitergehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\sin(y^2z)\\2xy\cos(y^2z)\\x\cos(y^2z)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1+t\\e^t\\t^2-5t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin(y^2z)+t\sin(y^2z)\\2xy\cos(y^2z)e^t\\x\cos(y^2z)t^2-5tx\cos(y^2z)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun müsste man das Skalarprodukt von: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\sin(y^2z)+t\sin(y^2z)\\2xy\cos(y^2z)e^t\\x\cos(y^2z)t^2-5tx\cos(y^2z)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\e^t\\2t-5\end{pmatrix}=\sin(y^2z)+t\sin(y^2z)+2\cos(y^2z)e^{2t}+2t(x\cos(y^2z)t^2-5tx\cos(y^2z))-5(x\cos(y^2z)t^2-5tx\cos(y^2z)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sin(y^2z)+t\sin(y^2z)+2\cos(y^2z)e^{2t}+2x\cos(y^2z)t^3-10t^2tx\cos(y^2z)-5x\cos(y^2z)t^2-25tx\cos(y^2z) \end{eqnarray}$ Und nun noch das Integral davon berechnen: $\begin{eqnarray} \int_0^5 \sin(y^2z)+t\sin(y^2z)+2\cos(y^2z)e^{2t}+2x\cos(y^2z)t^3-10t^2tx\cos(y^2z)-5x\cos(y^2z)t^2-25tx\cos(y^2z)dt \end{eqnarray}$ Habe ich dass richtig verstanden?
07.04.2005, 14:07	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
@Athur, dass wäre also dann der normale Weg? @Yeti, wenn es also um das Wegintegral eines Gradientenfeld geht, geht es auch einfacher?!
07.04.2005, 14:13	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst für x, y und z noch x(t), y(t) und z(t) einsetzen.
07.04.2005, 14:17	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja Ok, war gemein von mir. Ich hab gedacht, man könnte auch das Integral noch mit einigermaßen vertretbaren Aufwand auswerten und dann als Aha-Effekt den von yeti777 vorgeschlagenen kürzeren Weg wählen. Aber bei der Scheußlichkeit des Integranden bleibt wohl doch "nur" der kürzere Weg: $\begin{eqnarray} \int\limits_S~(\nabla f)(x,y,z)\cdot\mathrm{d}\gamma=f(x(5),y(5),z(5))-f(x(0),y(0),z(0)) \end{eqnarray}$
07.04.2005, 14:22	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
@Yeti, wenn ich dich richtig verstehe geht es bei Wegintegralen eines Gradientenfelds auch so: $\begin{eqnarray} \gamma(5)=\begin{pmatrix}6\\e^5\\0\end{pmatrix}, \gamma(0)=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und damit das Wegintegral: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0\\12e^5\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\begin{pmatrix}0\\12e^5-2\\5\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
07.04.2005, 14:37	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
@Protector: Nicht ganz. Ein Potentialfeld ist ein Skalarfeld. Demzufolge musst du als Potentialdifferenz einen Skalar, also eine Zahl erhalten. Du hast $\begin{eqnarray} \gamma(5) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma(0) \end{eqnarray}$ mit den entsprechenden Werten für die Koordinaten von $\begin{eqnarray} (x,y,z) \end{eqnarray}$ . Diese Werte musst du in deine skalare Potentialfunktion $\begin{eqnarray} U= x\cdot \sin(y^2\cdot z) \end{eqnarray}$ einsetzen und rechnen $\begin{eqnarray} U(t=5) - U(t=0) \end{eqnarray}$ . Allerdings gibt es nicht viel zu rechnen! Weil sowohl z(5)=0, als auch z(0)=0 ist und z als multiplikativer Faktor im Argument des sin steht, sieht man von Auge, dass das Ergebnis Null ist. Gruss yeti PS. Ich denke, du solltest dir noch einmal den Unterschied zwischen Vektor- und Skalarfeldern klar vor Augen führen. Ist nur ein Tip.
07.04.2005, 14:41	Protector1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!

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