Orthonormalbasis

07.04.2005, 15:32	MaggotManson	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis Moin Ich hab ein paar Probleme mit folgender Aufgabe. Sei $\begin{eqnarray} V := \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb R^4 \| x_1 - 2x_2 + x_3 - x_4 = 0\} \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie eine bezüglich des kanonischen Skalarprodukts < , > im $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ orthonormale Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , bei der die ersten drei Komponenten des ersten Basisvektors gleich sind. Lösungsversuch: Erstmal zwei zueinander senkrechte Vektoren ausdenken: $\begin{eqnarray} v_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} , v_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In der Übungsgruppe haben wir bei einer ähnlichen Aufgabe nun zunächst einen dritten Vektor aufgestellt: $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit diesem haben wir nun einen zu $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ senkrechten Vektor erstellt (zumindest hab ich das so verstanden): $\begin{eqnarray} v_s = v - <v,v_1>v_1 - <v,v_2>v_2 \end{eqnarray}$ Also hier: $\begin{eqnarray} v_s = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix} - 4 * \frac{1}{\sqrt{3}} * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} - (-3) * \frac{1}{\sqrt{2}} * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_s = \begin{pmatrix} \frac{-4}{\sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{2}} \\ 1 - \frac{4}{\sqrt{3}} \\ 3 - \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{3}{\sqrt{2}} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gerundet: $\begin{eqnarray} v_s = \begin{pmatrix} -0,188 \\ -1,309 \\ -1,431 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dieser Vektor erfüllt zwar die Bedinung $\begin{eqnarray} x_1 - 2x_2 + x_3 - x_4 = 0 \end{eqnarray}$ , allerdings steht er weder auf $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ noch auf $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray*}$ senkrecht, und das ändert sich ja auch nicht durch das normieren. Steckt hier irgendein Rechenfehler drin, oder muss man das ganze anders angehen? Zusatzfrage: Muss man beim kanonischen Skalarprodukt bei einem Vierervektor das Produkt der vierten Komponenten addieren oder subtrahieren? Ich denke mal addieren, allerdings hatten wir es in Physik immer abgezogen, aber kann auch gut sein, dass das nur in dem Fall so sein musste. (Hier kommt zwar eh Null raus, ich würde es aber trotzdem gerne wissen.)
07.04.2005, 15:40	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
beim standardskalarprodukt musst du auch im n-dimesnionalen immer alles addieren. also <x,y>=x1y1+x2y2+...+xnyn zur anderen aufgabe: ich würde zunächst den vektorraum ausrechnen (lösungsraum des LGS), danach eine basis aufstellen, die die bedinigung erfüllt, dass einer der vektoen die ersten 3 komponenten gleich hat. anshließend könntest du diese basis mit dem gram-schmidt-verfahren orthogonalisieren. mfg jochen edit: +m*
07.04.2005, 15:42	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Abziehen in Physik liegt wahrscheinlich daran, dass in der Relativitätstheorie ein anderes Skalarprodukt benutzt wird (letzter Summand wird abgezogen anstatt addiert).
07.04.2005, 16:46	MaggotManson	Auf diesen Beitrag antworten »
So, erstmal Danke für die Antworten. Das Gram-Schmidt-Verfahren kenne ich zwar nicht, aber ich hab nochmal meinen Weg durchgerechnet und den Fehler gefunden. Bei den Skalarprodukten hab ich die $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ vergessen. Wenn man dies noch beachtet, bekommt man auch einen senkrechten dritten Vektor, und der hat auch einfachere Werte in den einzelnen Komponenten.
07.04.2005, 16:51	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthonormalbasis na fein.... rein der vollständigkeit halber doch noch einen link zur wiki-seite über die orthogonalisierung einer basis nach dem verfahren von gram-schmidt. http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidt mfg jochen

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