Matrizen Potenzieren mit Vektorzerlegung

07.04.2005, 15:46	Mathe_Thomas	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen Potenzieren mit Vektorzerlegung Hallo Leute, ich brauche UNBEDINGT eure Hilfe bei folgender Aufgabe: Berechnen Sie: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^7 \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zerlegen Sie dazu den Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in eine Summe aus Einzelvektoren. Verwenden Sie anschließend eine wichtige Eigenschaft von Eigenwerten. Mein problem liegt dabei nicht im potenzieren der Matrix (ist ja kein Problem). Nur wie das mit dem dazugehörigen Vektor gemeint ist kann ihc nicht nachvollzihen. Ich hätte jetzt einfach die Matrix potenziert (über Diagonalmatrix etc) und dann einfach mit dem Vektor multipliziert. Das dürfte ja nicht so das Problem sein. Nur da ich eine mündliche Prüfung habe würde ich gerne wissen wie das mit dem Vektor funktionieren soll! Vielen Dank schonmal (auch für nützliche Anregungen bin ich dankbar!)
08.04.2005, 01:52	N8schichtler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen Potenzieren mit Vektorzerlegung 1.) Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren deiner Matrix $\begin{eqnarray} \left( \lambda_1=2,\vec v_1=\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right),\lambda_2=-1,\vec v_2=\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)\right) \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} \{\vec v_1,\vec v_2\} \end{eqnarray}$ stellt eine (andere) Basis für $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ dar. 3.) Stelle $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right) \end{eqnarray}$ als Linearkombination der neuen Basisvektoren dar. $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\-3\end{array}\right) \end{eqnarray}$ 4.) Dein Vekton ist nun eine Summe von Eigenvektoren. 5.) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^7 \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^7 \left[\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}\right]=2^7\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}+ (-1)^7\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 256 \\ 512 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 253 \\ 515 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Vorteil gegenüber deiner Mathode ist, dass ich nun auch sofort $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^{20} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder jede andere beliebige Potenz der Matrix berechnen kann, ohne die Matrix 20mal zu multiplizieren. Außerdem geht es auch mit jedem anderen Vektor, du musst ihn nur in der neuen Basis aus 3.) darstellen
08.04.2005, 17:22	Mathe_Thomas	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank für deine Hilfe!!! Ist ja echt super, danke dir nochmal. Wenn ich jetzt die o.g. Matrix potenzieren möchte ohne den dahinterstehenden Vektor, ist es dann auch möflich dein Verfahren anzuwenden ohne den Umweg $\begin{eqnarray} A^{20} = SD^{20} S^{-1} \end{eqnarray}$ zu gehen ? (Wobei S der Eigenraum der Matrix ist und D die dazugehörige Diagonalmatrix)
11.04.2005, 10:00	N8schichtler	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum findest du das so umständlich? Mit meinen Eigenvektoren $\begin{eqnarray} \vec v_1=\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec v_2=\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right) \end{eqnarray}$ erhältst ich sofort die Matrix $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da du die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_1=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2=-1 \end{eqnarray}$ hast, kennst du auch schon die Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , die du leicht potenzieren kannst: $\begin{eqnarray} D^n=\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das alles hast du schon! Das einzige, was du nun noch errechnen musst, ist $\begin{eqnarray} S^{-1} \end{eqnarray}$ und das sollte doch nicht wirklich ein Problem darstellen, oder?

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