Ableitungen

07.04.2005, 17:56

brunsi

Ableitungen

Hab wieder mal ein kleines Problem, soll zu folgender Funktionenschar die ersten drei Ableitungen bilden.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2t}{e^{tx}+e^{-tx}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

ICh weiß, dass ich es mit Quotientenregel ableiten muss und habe dann für die 1.Ableitung folgendes heraus:

u=2t
u'=o
v= $\begin{eqnarray*} e^{tx}+e^{-tx} \end{eqnarray*}$
v'= $\begin{eqnarray*} te^{tx}-te^{-tx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-2t²(e^{tx}-e^{-tx})}{e^{2tx}+e^{-2tx}+2} \end{eqnarray*}$

könnt ihr mal schauen ob das richtig ist und wenn nicht, was ich da falsch gemacht habe. brauche das bis morgen!!

07.04.2005, 18:36

aRo

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scheint korrekt zu sein! Freude

07.04.2005, 18:49

brunsi

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antwort
also kommt da nicht irgendwie im zähler nur ein e hoch irgendetwas raus? weil der Texas Instruments voyage 200 zeigt mir das so an!!

07.04.2005, 20:37

iammrvip

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Hallo

Ist eingeführt/erlaubt:

$\begin{eqnarray*} \cosh x := \frac{1}{2}\left(\mathrm e^x + e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$

Das vereinfacht die Sache nämlich ziemlich...

Sonst: Warum Quotientenregel verwirrt

Formen wir erstmal in eine Hochzahl um:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2t\left(\mathrm e^{tx}+e^{-tx}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

Nun einfach Kettenregel Augenzwinkern

08.04.2005, 12:11

brunsi

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antwort
so und nun die 2.Ableitung:

$\begin{eqnarray*} u=-2t²( e^{tx}-e^{-tx})<br /> <br /> u'=-2t³(e^{tx}-e^{-tx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=e^{2tx}+e^{-2tx}+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=2te^{2tx}-2te^{-2tx} \end{eqnarray*}$

damit wäre dann die 2.ableitung:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-2t³(e^{tx}-e^{-tx}*(e^{2tx}+e^{-2tx}+2))-[-2t²(e^{tx}-e^{-tx})(2te^{2tx}-2te^{-2tx})]}{(2te^{2tx}-2te^{-2tx})²} \end{eqnarray*}$

überprüft das doch auch noch mal bitte!!

danke

mfg dennis

könntet ihr meine 2.Ableitung noch mal überprüfen, weil ich mir total unsicher bin, ob es richtig ist.

edit: Doppelpost zusammengefügt, unterlasse solche Pushposts! (MSS)

08.04.2005, 16:32

Frooke

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RE: Ableitungen

Zitat:

Original von brunsi
Ich weiß, dass ich es mit Quotientenregel ableiten muss.

Dieser Sonderfall der Qutientenregel heisst Reziprokensatz. (das hab ich zwar schon oft gesagt aber wenn Du hier schon nicht - wie iammvrip vorgeschlagen hat - mit der Kettenregel ableitest, benutze doch diese Formel Augenzwinkern

)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{g(x)}, f'(x)=-\frac{g'(x)}{g(x)^2} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{C}{g(x)}, f'(x)=-C\frac{g'(x)}{g(x)^2} \end{eqnarray*}$

08.04.2005, 18:50

brunsi

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RE: Ableitungen
das musst du mir mal erklären, weshalb ich es mit dieser Reziprokeregel machen muss. verstehe nicht, weshalb ich damit arbeiten muss.

08.04.2005, 19:00

iammrvip

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Es geht immer noch um die erste Ableitung.

Warum willst du hier die Quotientenregel nehmen verwirrt

Du hast doch im Zähler überhaupt kein x verwirrt

Warum schreibst du es nicht so um, wie gesagt habe oder nimmst die "Reziprokenregel"?

Dann hatte ich ja noch eine Frage:

Ist eingeführt/erlaubt $\begin{eqnarray*} \cosh x := \frac{1}{2}\left(\mathrm e^x + e^{-x}\right) \end{eqnarray*}$

08.04.2005, 19:47

brunsi

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antwort
@iammervip: nein ist nicht erlaubt. und ich brauche doch für die quotientenregel nicht unbedingt ein X oder?

hab di erste ableitung im übrigen aber dennoch richtig. haben die heute verglichen und die war korrekt.

jetzt würde ich aber gerne wissen, ob meine hier gepostete 2.Ableitung richtig ist. könntet ihr das mal probieren nachzuvollziehen??!!

08.04.2005, 19:51

iammrvip

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RE: antwort

Zitat:

Original von brunsi
@iammervip: nein ist nicht erlaubt. und ich brauche doch für die quotientenregel nicht unbedingt ein X oder?

Frechheit....das macht das ganze so umständlich...Nein es muss nicht unbedingt ein x im Zähler sein.

Aber warum soll man es sich komplzierter machen als es ist verwirrt

Das verstehe ich nicht.

Zitat:

hab di erste ableitung im übrigen aber dennoch richtig. haben die heute verglichen und die war korrekt.

Ja sie stimmt auch, wir wollten dir nur sagen, dass es hier auch viel einfacher geht.

Zitat:

jetzt würde ich aber gerne wissen, ob meine hier gepostete 2.Ableitung richtig ist. könntet ihr das mal probieren nachzuvollziehen??!!

Überprüfe nochmal u'!

08.04.2005, 19:59

brunsi

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antwort
jo ich hab bei u' das minus falsch eingesetzt muss ein plus sein. hab das einfach falsch eingetippt und alles weiter hier im board dann von dem obigen abgeschaut.

aber könnte man das dann noch weiter zusammenfassen?

@iammrvip: hab deinen nick richtig geschrieben Augenzwinkern

ich mach das extra so kompliziert, weil ich nicht weiß, wie einfach dei Funktion in der Abi-Klausur sein wird, und da möchte ich nur gut vorbereitet sein und mir noch einmal alle Regeln vergegenwärtigt haben. Deshalb so umständlich. Unser Lehrer hat auch den einfacheren Weg an die Tafel geschrieben, aber ich hab das nun mal eben auf dem komplizierten gemacht, um mir sicherer zu werden und vor allem genauer zu arbeiten. Das ist der einzige Grund für diese hammer Funktionen.

08.04.2005, 20:04

iammrvip

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Ich meinte mit Frechheit das ihr die Hyperblischen Funktion nicht nehmen dürft Augenzwinkern

.

Also muss oben ein Plus hin, dann stimmt es erstmal soweit. Nun noch vereinfachen Freude

08.04.2005, 20:13

brunsi

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antwort
@iammervip: danke schön. kannst du mir auch noch erzählen, in welchen fällen ich den Reziprokensatz von frooke anwendem muss?

08.04.2005, 20:16

iammrvip

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Du kannst sie immer anwenden, wenn die abhängige Variable (also das in den Klammern, hier x) nur im Nenner steht.

09.04.2005, 20:02

Frooke

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Sorry, dass ich mich erst jetzt wieder melde, aber ich sehe es so:

Für
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} \end{eqnarray*}$ Quotientenregel (oder Produkteregel mit Kettenregel)

Für
$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \cdot h(x) \end{eqnarray*}$ Produkteregel

Für
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{c}{g(x)} \end{eqnarray*}$ Reziprokensatz (oder auch hier einfach Kettenregel)

Also der Reziprokensatz ist einfach ein Sonderfall der Quotientenregel...

LG

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