Gegenbeispiel: nicht stetige Ableitung |
| 13.02.2004, 16:15 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gegenbeispiel: nicht stetige Ableitung (Ich denke, diese Aufgabe ist nicht Rätsel genug, um in jenes Brett zu gehören.) Die Funktionen, die man in der Schule zum Ableiten bekommt, sind allesamt stetig und haben auch stetige Ableitungen. Allerdings ist die Ableitung einer auf ganz R differenzierbaren Funktion nicht immer stetig. Finde eine Funktion von R nach R, die auf ganz R differenzierbar ist, deren Ableitung aber nicht überall stetig ist. Gruss, SirJective |
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| 13.02.2004, 16:49 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gegenbeispiel: nicht stetige Ableitung Hmm wie wäre es denn mit der Betragsfunktion ?!? |
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| 13.02.2004, 17:05 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Betragsfunktion z.B. |x| ist in 0 nicht differenzierbar, taugt also nicht. |
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| 13.02.2004, 17:31 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
h(x)=x^2*sin(1/x) für x!=0 und 0 für x=0 ist auf ganz R differenzierbar und stetig, die Ableitungsfunktion h'(x)=2*x*sin(1/x)-cos(1/x) für x!=0 und 0 für x=0 ist jedoch in x=0 nicht stetig. Ist es das, was du suchst? |
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| 13.02.2004, 18:26 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
.. differenzierbar in einem Punkt heißt für mich linksseitige Ableitung und rechtsseitige Ableitung existieren UND sind beide gleich. Mag aber sein, dass ich bei dieser Definition falsch liege ;-/ ... Wenn ich mit dieser Def. richtig liege, dann kann es das gesuchte eigentlich nicht geben ;-/ ... |
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| 13.02.2004, 19:07 | Meromorpher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Differenzierbarkeit in einem Punkt: Es sei I ein offenes Intervall und . Eine Funktion heißt im Punkt differenzierbar, wenn existiert. Differenzierbarkeit in einem Intervall: f heißt in I differenzierbar, wenn f in jedem Punkt von I differenzierbar ist. Folgt man dieser Definition, dann muss die Ableitung stetig sein, ist sie das nicht, dann ist der Grenzwert dort nicht definiert?!? Beim Formeleditor ist übrigens was falsch. "\calR" gibt dieses geschwungene R oben und nicht das R mit zwei Strichen (reell). |
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| 13.02.2004, 19:54 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
.. na dann lag ich ja richtig mit meiner Def. von differenzierbar, d.h. das gesuchte Dingen gibt es nicht. ... |
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| 13.02.2004, 21:24 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tja, ich habe aber ein Beispiel gegeben, das die Bedingung des Topics erfüllt. Also scheint ja an deiner Überlegung etwas nicht zu stimmen, Poff. Die Funktion selbst muss tatsächlich stetig sein, damit die Ableitung existieren kann, vielleicht verwechselst du da etwas. |
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| 13.02.2004, 21:30 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
.. nein ich verwechsele nichts, dein Beispiel ist nicht treffend ... |
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| 14.02.2004, 10:57 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das glaub ich nicht. Movarian hat hier _das_ Standardbeispiel für eine differentierbare, nicht stetig differentierbare Funktion gebracht. Ich werd es jetzt nicht nochmal nachrechnen, unterstütze ihn hiermit aber mal ganz offiziell ;). Die Ableitung im Punkte 0 ist 0, aber wenn man von rechts bzw links einen Grenzwert bildet um die Stetigkeit zu überprüfen so existiert dieser nicht. Btw ist das Problem hier Osszillation und man kann beweisen das Ableitungen keine anderen Unstetigketisstellen haben können. |
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| 14.02.2004, 13:11 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@epikur Ich nehme deine Begründung gerne an, wenn 'du' den Beweis erbringst, dass jene Fkt f in 0 differnzierbar ist und nicht dadurch differenzierbar wird, dass man die undefinierte Lücke in der Ableitungsfunktion schließt. Sollte die Ableitung von f in 0 existieren, dann kann das nur möglich sein, wenn die Differentiation von f nahe um 0 von den Funktionswerten von f' nahe um Null verschieden ist. Rein prinzipell halte ich das erstmal für denkbar, weil ich mir vorstellen könnte, dass aus welchem Grunde auch immer die 'Ableitungsregeln' hier versagen könnten, bzw aus welchem Grunde auch immer so (für diesen Bereich) nicht hätten angewendet werden dürfen. Darin sehe ich eine Lösungsmöglichkeit, die mir dann aber mehr darauf hinausliefe, dass die Differentiation von f um Null mit dem von f' um Null einfach nicht übereinstimmt. Ansonsten lasse ich mich überraschen ... |
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| 14.02.2004, 13:54 | Anirahtak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo! Also dass f auf IR\{0} differenzierbar ist, ist wohl klar, oder? In 0 gilt: Der letzte Schritt, ist richtig, weil der sin beschränkt ist. Und f'(x) ist nicht stetig in x=0, denn: Ein Funktion ist genau dann in stetig, wenn für jede Folge mit gegen für n gegen unendlich gilt: gegen für n gegen unendlich. Wenn du also eine Folge findest, für die das nicht gilt, dann ist die Funktion in nicht stetig. Betrachte: Die Nullfolge: mit n aus IN. Dann gilt: Wegen -1 =|= 0 = f'(0) folgt, dass f'(x) in x=0 nicht stetig ist! Wenn genauere Erklärungen gewünscht sind, dann kann ich gerne versuchen sie zu geben!!! Viele Grüße :-) Anirahtak |
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| 14.02.2004, 17:57 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Steigung von f in 0 als h->0 lim([f(h)-f(0)]/h) = lim(h*sin(1/h)) =0 das hatte ich gestern bei meinen Überlegungen zwar auch, dann aber verworfen, weil nicht zu dem Verhalten der Ableitung passend. Dass die Ableitung f' in Null nicht stetig ist, ist mehr als offensichtlich, wegen jenem gegen Null strebenden Glied und auf der anderen Seite der festen Oszillation um +/- 1 Bis hierhin überrascht mich also nichts, jetzt mal davon abgesehen, dass der obere Grenzwert dem Wert von f'(0) entspricht, da war ich extra einem breiträumigerem Ansatz nachgegangen und mir deswegen nicht schlüssig genug. Ok, lassen wir das mal so da stehen, dann ist für mich doch nicht erkennbar wie der Widerspruch aufgelöst werden soll. Ist h->0 lim[f(x+h)-f(x)]/h - f'(x)] =0 für alle x !=! 0 dann lässt sich eine Folge xi konstruieren xi ->0 mit h->0 lim[f(xi+h)-f(xi)]/h =f'(xi) >0 mit xi ->0 |lim f'(xi)| =1 oder anders, für jedes kleine e>0 existiert ein xe<e mit h->0 lim[f(xe+h)-f(xe)]/h >0.5 >0 Ist interessant das Beispiel, muss ich schon zugeben, spüre auch die Problematik und muss mich ernsthaft fragen, wie man unter diesen Bedingungen überhaupt sinnvollerweise von der Existenz von " f'(0) " sprechen kann, wo es doch in JEDEM noch so kleinen Nachbarintervall stets massenhaft |Steigungen| von um die 1 gibt. Ist halt eine Definitionssache und wenn mans genau nimmt existiert die "Ableitung" in Null, macht nur keinerlei Sinn her, da die "Ableitungen" rechts und links von Null nicht etwa nur verschieden sind, sondern zudem NICHT mal konvergieren. ... |
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| 14.02.2004, 20:11 | Anirahtak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo! Es ist in der Tat gewöhnungsbedürftig, dass sich die folgenden Sachverhalte nicht ausschließen: 1. Es existiert die Ableitung von einer Funktion f im Punkt x 2. Es existiert keine -Umgebung von x, in der die Funktion f monoton ist. Dass das gerade kein Widerspruch ist zeigt das Beispiel. So ganz grob kann man sich die Ableitung (bzw. die sich daraus ergebende Tangente) doch also lineare Approximation der Funktion f in dem Punkt x vorstellen. Da bei dieser Funktion die Abstände der Minima und Maxima nah bei 0 sehr, sehr klein werden, ist es doch gut möglich, den Graphen in der sehr kleinen Umgebung von x=0 anzunähern, ohne dass die Funktionswerte von f von der Tangente stark anweichen - das bedeutet, die Ableitung ist durchaus in x=0 sinnvoll definiert. Ciao :-)Anirahtak |
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| 15.02.2004, 11:58 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Beispiel, das von movarian gegeben und von Anirahtak richtig bewiesen wurde, ist tatsächlich das Standardbeispiel, und es macht auch folgendes klar: Differenzierbarkeit ist eine punktweise Eigenschaft. (Stetigkeit ist übrigens auch eine punktweise Eigenschaft, denn es gibt genauso auch eine Funktion von R nach R, die nur in einem einzigen Punkt stetig ist. Welche? *gg*) Ich hoffe, dieses Beispiel regt euch zum Nachdenken darüber an, was möglich ist.
Wie gesagt, die Ableitung ist an jedem Punkt einzeln definiert. Da interessieren zwar die Funktionswerte der Umgebung, aber nicht die Ableitungswerte der Umgebung. Du hast doch sicherlich auch kein Problem mit der Funktion sgn, die x< 0 auf -1, x=0 auf 0 und x>0 auf 1 abbildet. Um es in deinen Worten zu sagen: "wie kann man von der Existenz von sgn(0) sprechen, wo es doch in jedem noch so kleinen Nachbarintervall stets massenhaft Werte vom Betrag 1 gibt". Dass diese Vorzeichenfunktion sgn nicht als Ableitung einer Funktion auftreten kann, hat epikur erwähnt. Gruss, SirJective |
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| 15.02.2004, 13:50 | Marcyman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mh, mir fällt da f(x)={x für x aus Q, 0 für x aus R\Q} ein, aber die bildet R nach Q ab. Jedenfalls ist f nur in x_0=0 stetig. |
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| 15.02.2004, 14:09 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@SirJective richtig, nur das mit der Eigenschaft verwischt etwas das Ganze, dieweil es unterbewusst etwas impliziert als sei dies eine Eigenschaft die aus der Differenzierbarkeit folge. Richtiger und besser ist "Differenzierbarkeit ist eine punktweise Eigenschaft" weil als sie als solche DEFINIERT. meine Beitrag vom 13.02.2004 17:26
Mag aber sein, dass ich bei dieser Definition falsch liege ;-/ genau daran lags und sonst nichts. ... |
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| 17.02.2004, 22:15 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtiges Beispiel. Dass das Bild von f in Q liegt, ist egal, da Q in R enthalten ist. Die Surjektivität der Funktion ist ja nicht verlangt. Wir könnten das Spiel noch weitertreiben, indem wir eine Funktion suchen, die für alle irrationalen Zahlen stetig ist und für alle rationalen Zahlen nicht, aber das muss nicht unbedingt sein, da das Thema ja eigentlich Differenzierbarkeit war. @Poff: Ja, Differenzierbarkeit ist als punktweise Eigenschaft definiert. Mein Satz war also ein perfektes Beispiel einer Tautologie. Deine Definition
scheint mir exakt richtig zu sein, falls du mit linksseitiger und rechtsseitiger Ableitung die einseitigen Grenzwerte lim_{x -> x0, x < x0} und lim_{x -> x0, x > x0} meinst. Von Grenzwerten der Ableitung ist dabei nämlich nicht die Rede. Gruss, SirJective |
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| 17.02.2004, 22:30 | Anirahtak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Funktion, die in allen irrationalen Punkten stetig ist und allen rationalen nicht? f(x) = 1/q für x=p/q mit p,q aus IN und teilerfremd und f(x) = 0 sonst. :-) Anirahtak |
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| 17.02.2004, 22:45 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein genau das meinte ich eben nicht, sondern ich hatte wohl die 'Ableitungen' rechts und links davon und deren Grenzwert gegen in diesem Falle die Null gemeint. Über die dann hier nach meinem Beitrag vorgestellte Definition der Differenzierbarkeit von 'Meromorpher' hatte ich leider etwas lasch drübergeschaut. Unter den meinigen Vorstellungen der Differenzierbarkeit, wär der Beweis der Existenz von f' in Null nämlich NICHT gelungen. Genau das war denn auch der Grund warum ich meinte das GEWISSE Beispiel sei nicht treffend, weil ich aus den gerade oben genannten Gründen eben davon ausgegangen war dass f' in Null nicht existieren könne. War eben ein Definitionsproblem bzw. etwas lasche Oberflächlichkeit von mir. Auch weiter kein Problem, da ich eben nicht unbedingt vorhabe immer und in allen Punkten so ganz präzise mit der Materie umzugehen, das überlasse ich gerne den Profis. |
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| 17.02.2004, 22:53 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verstehe. Ist ja meist auch kein Problem. Wie schon im Starter erwähnt, sind die meisten differenzierbaren Funktionen in der Schule auch stetig differenzierbar. @Anirahtak: Gut! Und jetzt noch eine Funktion, die an allen rationalen Zahlen stetig und allen irrationalen unstetig ist. 
Gruss, SirJective |
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| 23.02.2004, 18:54 | Marcyman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mir fällt da keine ein, würd mich aber dennoch sehr interessieren. Hasse eine parat? Übrigens: Wie wärs mit überall stetig und nirgends differenzierbar? Da hat der Weierstraß ja schöne Teile gebastelt... |
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| 23.02.2004, 19:58 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie wäre es mit der Koch-Kurve? 
Gruß, Thomas |
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| 23.02.2004, 21:13 | Marcyman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jop. Peano-Kurven ebenfalls. |
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| 25.02.2004, 14:00 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Hinweis auf die von Weierstraß konstruierten "Monster", die überall stetig und nirgends differenzierbar sind, ist schon gut. Die Koch-Kurve ist keine Funktion von R nach R, sondern immerhin eine Kurve der Ebene, die stetig und nicht differenzierbar ist. Ich muss zugeben, dass ich selbst keine Funktion von R nach R kenne, die auf allen rationalen Zahlen stetig und allen irrationalen Zahlen unstetig ist. Möglicherweise gibt es keine, aber ein Beweis dessen ist mir auch noch nicht gelungen. Muss mal recherchieren... Gruss, SirJective |
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| 28.02.2004, 22:05 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt keine Funktion von R nach R, die nur in den rationalen Zahlen stetig ist. Das Beispiel wird in meinem Analysis Lehrbuch als Übungsaufgabe gestellt, allerdings mit einigen Hinweisen und Queverweisen zu fünf anderen Aufgaben. Ich werde den Beweis bald nachbringen. |
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| 29.02.2004, 18:47 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin an diesem Beweis sehr interessiert. Wenn du ihn hier skizzierst, wäre ich dir dankbar. In welchem Lehrbuch steht die Aufgabe? |
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| 02.03.2004, 11:17 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Aufgabe steht im Buch Analysis I von Amann und Escher, Birkhäuser Verlag. Aufgabe V.4.5 Der Text: Zeige: Es gibt keine Funktion von R nach R, die in jedem rationalen Punkt stetig und in jedem irrationalen Punkt unstetig ist. Hinweis: Es sei f eine solche Funktion. man beachte für , wobei der Stetigkeitsmodul von Aufgabe III.1.17 ist. Gemäß Aufgabe III.2.20 ist offen. Außerdem ist Q Teilmenge von und der Durchschnitt aller ist gleich Q, was wegen V.4.4(b) nicht möglich ist. Der Rest folgt... |
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| 02.03.2004, 12:26 | Anirahtak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo! Ich hab einen Beweis gefunden, der ist im Prinzip ganz einfach, aber drauf kommen muss man halt... Es macht wohl wenig Sinn den ganzen Beweis hier abzuschreiben, aber dafür der Link: http://www.ijon.de/mathe/stetig/ LG Anirahtak. |
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| 02.03.2004, 22:04 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
martins1: Ich werd mal sehen, ob ich das Buch finde. Vom Stetigkeitsmodul hab ich noch nie gehört. Den könntest du in einem neuen Thread posten, damit dieser langsam zur Ruhe kommt. Anirahtak: Danke für den Link! Gruss, SirJective |
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