Integrabilitätsbedingung

08.04.2005, 15:21

ratm

Integrabilitätsbedingung

Hallo!
Habe da ne Frage zu einer Aufgabe. Leider habe ich keine Tips und nicht die geringste Ahnung, wie der Beweis gehen sollte.

u (x, y) = -y / ( x^2 + y^2)
v (x, y) = x / (x^2 + y'2)
(x,y) ungleich (0,0)

Zeige dass es keine differenzierbare Funktion f (x,y) gibt, die auf der ganzen Ebene ausserhalb des Punktes (0,0) definiert ist, so dass

f nach x abgeleitet = u
f nach y abgeleitet = v

Der Satz von Schwarz ist ja erfüllt, aber der Definitionsbereich ist ja kein axenparalelles Rechteck, d. h. es hat ein Loch im Nullpunkt, die Integrabilitätsbedingung ist demnach nicht erüfllt. wie beweise ich jedoch dass es keine Funktion gibt?!
Im wesentlichen ist f ja die Winkelfunktion der Polarkoordinaten...
Hatten noch keine Wegintegrale oder so....

Besten Dank

Lieben Gruss

Roman

08.04.2005, 18:59

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Zitat:

Original von ratm
Im wesentlichen ist f ja die Winkelfunktion der Polarkoordinaten...
Hatten noch keine Wegintegrale oder so....

Bedauerlich! unglücklich

Denn bei Integration über den geschlossenen Weg $\begin{eqnarray*} \vec{s}=(\cos\varphi,\sin\varphi),\quad 0\leq\varphi\leq 2\pi \end{eqnarray*}$ (Einheitskreis $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ) erhält man wegen $\begin{eqnarray*} u(\vec{s})=-\sin\varphi,v(\vec{s})=\cos\varphi \end{eqnarray*}$ den Wert
$\begin{eqnarray*} \oint\limits_E \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix}\cdot\mathrm{d}\vec{s}=\int\limits_0^{2\pi} \begin{pmatrix} -\sin\varphi\\ \cos\varphi \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -\sin\varphi\\ \cos\varphi \end{pmatrix}\,\mathrm{d}\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\,\mathrm{d}\varphi=2\pi \end{eqnarray*}$

Bei Richtigkeit der Annahme $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix}=\nabla f \end{eqnarray*}$ müsste dagegen Null rauskommen:
$\begin{eqnarray*} \oint\limits_E \nabla f\cdot\mathrm{d}\vec{s}=0 \end{eqnarray*}$ .

Also ist die Annahme falsch.

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