Erneutes Integralproblem

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30.09.2007, 18:42	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Erneutes Integralproblem Es geht um folgendes Integral: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{3+3x^2}}~dx \end{eqnarray}$ dabei ist folgende Substitution vorgegeben: $\begin{eqnarray} x= \frac{t^2-1}{2t}\Rightarrow dx=\frac{2t^2+2}{4t^2} dt \end{eqnarray}$ Wenn ich das x ersetze erhalte ich folgendes: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{\left(\frac{2t^2+2}{4t^2}\right) }{\sqrt{3+3\cdot \left(\frac{t^2-1}{2t}\right)^2 }}~dt =\int_{}^{}~\frac{\left(\frac{t^2+1}{2t^2}\right) }{\sqrt{3+3\cdot \left(\frac{t^2-1}{2t}\right)^2 }}~dt \end{eqnarray}$ Nur wie mache ich jetzt weiter? Ich kann mit der Substitution irgendwie nichts anfangen Ich könnte den Zähler noch in den Bruch mit in die Wurzel reinziehen das sehe dann so aus. $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{3\cdot \left(\frac{2t^2}{t^2+1}\right)^2 +3\cdot \left(\frac{t^2-1}{2t}\right)^2\cdot \left( \frac{2t^2}{t^2+1}\right)^2}}~dt \end{eqnarray}$ Aber ob das auch was bringt, weiß ich nicht. Edit: Hab den letzten Schritt verbessert Danke
30.09.2007, 18:54	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Klammere lieber 3 im Radikanden aus und schau dann mal in die Formelsammlung was eine Stammfunktion vom verbleibenden Term ist Edit: http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von...Stammfunktionen Gruß Björn
30.09.2007, 19:05	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich 3 ausklammere bekomme ich folgendes: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{\left(\frac{t^2+1}{2t^2}\right) }{\sqrt{3\cdot \left(1+ \left(\frac{t^2-1}{2t}\right)^2\right) }}~dt \end{eqnarray}$ Ich finde die Stammfunktion vom dem verbleibendem Term garnicht
30.09.2007, 19:15	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, zieh die $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ vor das integral und schau die das dann nochmal ohne die substitution an
30.09.2007, 19:15	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte schon an dieser Stelle: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{3+3x^2}}~dx \end{eqnarray}$
30.09.2007, 19:22	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst ich soll das ganze lösen ohne zu substituieren indem ich einfach in die Formelsammlung gucke? Eine Stammfunktion wäre demnach ja: $\begin{eqnarray} F(x)=\frac{1}{\sqrt3}arsinh(x)=\frac{1}{\sqrt3}ln(x+ \sqrt{x^2+1}) \end{eqnarray}$ Das ist aber nicht Sinn der Aufgabe, denn der Aufgabe nach soll ich mit der angegebenen Substitution an das Integral kommen. Was wäre denn wenn ich in einer Klassenarbeit, dieses Integral bekomme? Darf ich dann einfach das Ergebnis schreiben, weil es in der Formelsammlung steht und bekomme dafür meine Punkte
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30.09.2007, 19:37	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{dt}{dx} =\frac{t^2+1}{t^2} \end{eqnarray}$ Ist es nicht so herum. Wenn du das dann nach dx auflöst kommt aber was anderes heraus...
30.09.2007, 19:43	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist doch: $\begin{eqnarray} (x)'=\frac{dx}{dt}=\frac{t^2+1}{2t^2} \Rightarrow dx=\frac{t^2+1}{2t^2}dt \end{eqnarray}$
30.09.2007, 20:18	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du hast recht. hatte mich da vertan. Aber ich hab mich da auch mal dran gesetzt und bekomme was anderes heraus: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x= \frac{t^2-1}{2t} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dx=\frac{t^2+1}{2t^2}~dt \end{eqnarray}$ Das hab ich auch noch...aber dann: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3}}\int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{t^2-1}{2t})^2}}\frac{t^2+1}{2t^2}~dt \end{eqnarray}$ Gleichnamig machen und zusammenfassen führt zu: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3}}\int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{(\frac{t^2+1}{2t})^2}}\frac{t^2+1}{2t^2}~dt \end{eqnarray}$ Wurzel und Potenz fallen weg: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3}}\int_{}^{}~\frac{1}{(\frac{t^2+1}{2t})}\frac{t^2+1}{2t^2}dt \end{eqnarray}$ Zusammenfassen ergibt dann aber ein leichteres Integral als oben beschrieben: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{}^{}~\frac{1}{t}~dt \end{eqnarray}$ Edit: Wo liegt dann mein Fehler?
30.09.2007, 20:38	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist sogar richtig Du musst: $\begin{eqnarray} x=\frac{t^2-1}{2t} \end{eqnarray}$ noch nach t auflösen und dann in $\begin{eqnarray} F(t)=\frac{1}{\sqrt3}ln(t) \end{eqnarray}$ einsetzen. Eine Frage bleibt mir aber noch: Warum ist: $\begin{eqnarray} 1+\left(\frac{t^2-1}{2t}\right)^2=\left(\frac{t^2+1}{2t}\right)^2 \end{eqnarray}$ Ich habs... $\begin{eqnarray} \frac{4t^2}{4t^2}+\frac{t^4-2t^2+1}{4t^2}=\frac{t^4+2t^2+1}{4t^2} \end{eqnarray}$ Oh Mann das es so einfach wird hätte ich nicht gedacht
30.09.2007, 20:42	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich habs gemerkt. hatte die rücksubstitution vergessen. Wende im Zähler die binomische Formel an. Dann wird mit dem gleichnamig machen aus dem $\begin{eqnarray} -2t^2 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} 2t^2 \end{eqnarray}$ Und daraus kann man dann aber wieder die binomische Formel machen. Eine Frage habe ich aber noch. Wenn ich x=... nach t umforme, hätte ich doch $\begin{eqnarray} t_{1,2}=x\pm... \end{eqnarray}$ Warum bleibt in eurer Lösung nur das + stehen?
30.09.2007, 20:45	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen: $\begin{eqnarray} x-\sqrt{x^2+1}<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=ln(x) \end{eqnarray}$ hat die Definitionsmenge $\begin{eqnarray} D(f)=x>0 \end{eqnarray}$
30.09.2007, 20:47	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Danke. Gemeinsam am Ziel
30.09.2007, 20:49	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab zu danken, gutes Teamwork Auch wenn ich oft nicht weiter weiß, diese Integration durch Substitution macht einfach riesig spaß.
30.09.2007, 22:34	mercany	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, mir muss mal kurz jemand die Augen öffnen. Ich habe selbige Aufgabe mit einem Nachhilfeschüler besprochen, jedoch scheint mir meine Lösung Unsinn zu sein. Ich find den Fehler nur gerade nicht Mit Substitution $\begin{eqnarray} x = \tan z \end{eqnarray}$ komme ich auf $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{3+3x^2}}~\mathrm dx & = & \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\int_{}^{}~\sec z~\mathrm dz \\ &=& \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \ln (\sec z + \tan z) \end{eqnarray}$ Kann das jemand bestätigen? Gruß, Jan

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