Aufgaben zur Polynomdivision

08.04.2005, 20:36

mercany

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Aufgaben zur Polynomdivision

Hallo!

In den letzen Tagen habe ich mich etwas intensiver mit dem Thema Polynomdivision und Substitution beschäftigt.

Leider fehlen mir entsprechende Aufgaben und die deren Kontrollfunktion.
Wäre vielleicht jemand so nett und würde mir hier ein par Aufgaben posten, von denen ich die Ergebnisse dann hier reinposten kann zur Kontrolle!

Besten Dank
mercany

08.04.2005, 20:50

iammrvip

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Hallo

Wink

Hier ein paar

$\begin{eqnarray*} i) &\left(x^3 - 3x^2 + 4\right) : (x-2) \\ ii) &\left(2x^3 - 3kx^2 + k^3\right) : (x - k) \\ iii) &\left(x^2 + 2x - 3\right) : (2x - 4) \\ iv) &\left(-2x^3 + 2x^2 + 3x - 1\right) : (x-1) \\ v) &\left(x^3 - 4x^2 - 16x + 15\right) : (x+3) \\ \end{eqnarray*}$

Alle im Forum mit der Suchfunktion gefunden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Manche gehen auch ohne leichter.

08.04.2005, 21:08

mercany

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Super, danke!

Dann werde ich mich mal gleich dran machen...
Was meinst du mit "gehen ohne leichter" ???

So long
Jan

08.04.2005, 21:13

iammrvip

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Z.B. bei der iv) geht es auch leichter über Termumformungen

$\begin{eqnarray*} &\frac{-2x^3 + 2x^2 + 3x - 1}{x-1} \\ &= \frac{-2x^3 + 2x^2}{x - 1} + \frac{3x - 1}{x-1} \\ &= \frac{-2x^3 + 2x^2}{x - 1} + \frac{3x - 1 - 2 + 2}{x-1} \\ &= \frac{-2x^2(x - 1)}{x - 1} + \frac{3x - 3 + 2}{x-1} \\ &= \frac{-2x^2(x - 1)}{x - 1} + \frac{3(x - 1)}{x - 1} + \frac{2}{x-1} \\ &= -2x^2 + 3 + \frac{2}{x-1} \end{eqnarray*}$

08.04.2005, 21:52

mercany

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Zitat:

Original von iammrvip
Z.B. bei der iv) geht es auch leichter über Termumformungen

$\begin{eqnarray*} &\frac{-2x^3 + 2x^2 + 3x - 1}{x-1} \\ &= \frac{-2x^3 + 2x^2}{x - 1} + \frac{3x - 1}{x-1} \\ &= \frac{-2x^3 + 2x^2}{x - 1} + \frac{3x - 1 - 2 + 2}{x-1} \\ &= \frac{-2x^2(x - 1)}{x - 1} + \frac{3x - 3 + 2}{x-1} \\ &= \frac{-2x^2(x - 1)}{x - 1} + \frac{3(x - 1)}{x - 1} + \frac{2}{x-1} \\ &= -2x^2 + 3 + \frac{2}{x-1} \end{eqnarray*}$

Achso, okey!
Wäre ich jetzt erstmal auf anhieb nicht drauf gekommen. Wahrscheinlich erst wenn ich schon fertig gewsen wäre Big Laugh

Big Laugh

Bin noch nicht dazu gekommen eine von deinen Aufgaben zu rechnen. Spätestens morgen stehen hier aber 2 - 3 Lösungen smile

smile

Gruss
mercany

08.04.2005, 23:08

mercany

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So.....

Schonmal eine Aufgaben-Lösung heute Abend.

Bei iii) habe ich $\begin{eqnarray*} x = -3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$

Müsste passen, oder?

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09.04.2005, 11:48

iammrvip

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Ich dachte du wolltest nur Polynomdivision üben, wieso denn Lösungen verwirrt

verwirrt

Wenn du Gleichungen willst, wo du zur Nullstellenbestimmung o.Ä. Polynomdivision brauchst, musst du es sagen.

09.04.2005, 16:14

mercany

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Okey!

Die Frage ist jetzt wahrscheinlich etwas dumm, aber welchen Zweck sollte ich denn sonst mit der Polynomdivision verfolgen?

Beschäftige mich ja erst seit kurzem damit, deshalb war mir bis jetzt eigentlich nur das "In die Form einer quad. Gleichung bringen" bekannt.

Besten Dank schonmal
Jan

09.04.2005, 17:31

Fassregel

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Wenn du eine gebrochen-rationale Funktion hast, kannst du z.B. mit der Polynomdivision eine "schiefe Asymptote" berechnen, wie sich die Funktion also für sehr große x verhält.

Beispiel:
Du hast die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x+2)(x-3)}{(x+1)} \end{eqnarray*}$ Im Zähler ausmultiplizieren und per Polynomdivision den Bruch teilen ergibt $\begin{eqnarray*} x-2-\frac{4}{(x+1)} \end{eqnarray*}$ , die Funktion f(x) verhält sich also für $\begin{eqnarray*} x\Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ wie $\begin{eqnarray*} f(x)=x-2 \end{eqnarray*}$ , da der Term $\begin{eqnarray*} \frac{4}{(x+1)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gegen 0 strebt.

Verstanden?

10.04.2005, 01:09

iammrvip

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@mercany
Dann musst du das aber auch fragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Dazu brauchst du ja ganz andere Aufgaben. (ohne den "Teiler")

10.04.2005, 15:56

mercany

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@Fassregel

Danke erstmal für deine Antwort.
Gebrochen-rationale Funktionen hatte ich noch nicht, daher wäre eine genauer Erklärung in diesem Zusammenhang für mich ganz hilfreich.

@iammrvip
Ja, ich wusste ja nicht, dass es auch einen anderen Sinn haben kann. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gut, das angeben des Teilers hat mir eben das erraten einer Nullstelle erspart.

Gruss
mercany

10.04.2005, 16:14

iammrvip

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Okay

Augenzwinkern

.

Zitat:

Original von mercany
Bei iii) habe ich $\begin{eqnarray*} x = -3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$

Ja stimmt. Aber dort brauchst du ja z.B. überhaupt keine Polynomdivision dafür Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

11.04.2005, 15:21

mercany

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Gut!

Könnte mir denn jetzt bitte nochmal jemand erklären, in welchem Zusammenhang ich die Polynomdivision bei gebrochen-rationalen Funktionen anwende.

Am besten wäre es natürlich, wenn mir das jemand an Beisipielen erklären könnte - so z.B. bei gebrochen-rationalen Funktionen.

Es würde aber notfalls auch ein Link tun, wobei ich mir den bzgl. gebrochen-rationalen Funktionen auf Wikipedia schonmal durchgelesen habe und ehrlich gesagt nicht so viel verstanden habe.

Gruss
mercany

11.04.2005, 16:10

Fassregel

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Gebrochen-Rationale Funktionen sind Funktionen, bei denen die Variable auch im Nenner vorkommt, so zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)} \end{eqnarray*}$ .

Dann mach ich mich halt mal auf und führ ne Kurvendiskussion mit den Dingern durch:
Zeichnen wir das Ding erst mal:

1. Definitionsbereich bestimmen:
Bei einer gebrochen-rationalen Funktion dürfen wir nicht durch 0 teilen, wie in der Mathematik auch nicht. Deshalb müssen wir schauen, wo der Nenner Null wird. In unserem Beispiel tut er das bei x=1 (1-1=0), deshalb als Definitionsmenge: $\begin{eqnarray*} \mathbb D= \mathbb R | \{ 1\} \end{eqnarray*}$

2. Nullstellen bestimmen
Eine Nullstelle erhalten wir bei gebrochen-rationalen Funktionen dann, wenn der Zähler Null wird. In diesem Fall tut er das bei 3 und -2, kann man sogar ablesen.

3. Asymptoten bestimmen
Jetzt kommt der Punkt, an dem wir die Polynomdivision brauchen, nämlich um die Asymptoten der Funktion zu bestimmen.
Es gibt zwei Typen von Asymptoten: senkrechte und waagrechte/schiefe
senkrechte Asymptoten gibt es immer da, wo der Nenner 0 wird, also in unserem Fall bei x=1. Also schreibt man: f(x) hat bei x=1 eine senkrechte Asymptote
Waagrechte Asymptoten findet man wie folgt heraus:
zuerst multiplizieren wir den Zähler aus: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x²-x-6}{x-1} \end{eqnarray*}$ , dann teilen wir den Zähler durch den Nenner, mit Hilfe der Polynomdivision. Das ist im Prinzip das, was ich in meinem früheren Post schon erklärt habe. Wir erhalten als Ergebnis der Polynomdivision:
$\begin{eqnarray*} x- \frac{6}{x-1} \end{eqnarray*}$

Damit haben wir raus, dass die schiefe Asymptote der Funktion g(x)=x ist, da 6/(x-1) für sehr große x sehr klein wird. Man kann auch schreiben: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x) = x \end{eqnarray*}$

Wenn der x-Wert unendlich groß wird, dann verhält sich die Funktion damit wie g(x)=x

Ableiten und so was werde ich die Funktion jezt nicht, das macht man in der Regel in der Oberstufe (wir hams in der 12. gemacht).

Auch wenn das eigentlich nicht mehr zum Thema gehört, hoffe ich dir ein wenig geholfen zu haben.

12.04.2005, 20:07

mercany

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Danke Fassregel!

Deine Erklärung hat mir das Ganze schon etwas verständlicher gemacht.
Könntest du mir vielleicht noch einen Link für ne Anleitung nennen, damit ich mich etwas mehr mit dem Thema auseinandersetzen kann?!

Danke nochmal
Jan

12.04.2005, 22:33

Fassregel

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Eine Kurvendiskussion mit einer gebrochen-rationalen Funktion (einer etwas komplizierteren, als ich es gezeigt habe), wird hier durchgeführt, schau unter Punkt 7; oder hier, da wird das Vorgehen auch noch ein wenig erläutert; oder hier unter dem Punkt "gebrochen-rationale Funktion".

Regeln, wie du gebrochen-rationale Funktionen ableitest, findest du unter anderem hier.

Falls du noch irgendwelche Fragen hast, zögere nicht, sie zu stellen, kannst mir auch gerne ne PN schreiben.

07.10.2007, 15:20

Bushido_4_life

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Kurvendiskusion bei gebrochenrationalen Funktionen!!!
Ich hab da nen Problem und zwar war ich jetzt 3 Wochen Krank und ich habe heute erfahren da wir HA aufhaben hab aba noch nie ne Kurverdiskusion bei genzrationalen Funktionen Durchgeführt!!

Es wäre richtig nett wenn mir einer det mal an einem Beispiel erklären könnte!!
Die Aufgabe die wir bekommte haben ist x²+1/x

Würde mich über ne schnelle Antwort freunen!!!
Im vorraus schonmal danke!!!

07.10.2007, 15:22

Calvin

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Mache dafür bitte einen neuen Thrad auf. Der Thread, den du ausgegraben hast, ist 2 Jahre alt und geht über ein komplett anderes Thema.

Danke für dein Verständnis.

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