Zerlegung von Nennern

09.04.2005, 01:19

Buddy

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Zerlegung von Nennern

Hi,

ich sitze gerade vor folgender Aufgabe, und komme nicht weiter. Sie lautet:

"Zerlegen Sie die Nenner zunächst in Faktoren, ermitteln Sie den Hauptnenner und berechnen Sie:"

1.) $\begin{eqnarray*} \frac{5u+7v}{12u+6v}-\frac{u+v}{2u+v} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \frac{2x-y}{2x-2y}-\frac{x-y}{3x+3y}+\frac{y*(3y-x)}{3x^2-3y^2} \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht, wie ich richtig faktorisiere. Den Hauptnenner ermittelt man meines Wissens nach durch Multiplikation aller Nenner untereinander, doch ich bin mir da nicht wirklich sicher. Müssen hierzu die binomischen Formeln angewandt werden?

Vielleicht könnte sich ja jemand erbarmen, und mir den Lösungsweg erklären. smile

smile

Vielen Dank im Voraus.

MfG

09.04.2005, 08:07

Fassregel

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RE: Zerlegung von Nennern
Den ganzen Lösungsweg wirst du hier nicht erklärt bekommen.

Eine sehr hilfreiche Art zu faktorisieren ist ausklammern.

So kannst du statt $\begin{eqnarray*} 4a-2b \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} 2(2a-b) \end{eqnarray*}$ schreiben.

Manchmal hilft das, den Hauptnenner zu sehen, ohne gleich alles miteinander zu multiplizieren und einen Term unnötig zu komplizieren.

Dies ist zum Beispiel bei deiner Aufgabe 1.) hilfreich.

Bei Aufgabe 2.) würde ich auch zuerst ausklammern, und dann siehst du, wie du dir die binomische Formel zunutze machen kannst.

Sofern du beim Ausmultiplizieren etwas hast, was eine binomische Formel ist, also $\begin{eqnarray*} (a+b)² \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (a-b)² \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b) \end{eqnarray*}$ , gilt selbstverständlich die binomische Formel.

10.04.2005, 17:12

Buddy

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RE: Zerlegung von Nennern
Hi, danke für die Hilfe, aber ich habe noch eine Frage;

Wie kann ich denn, wenn ich 2(2a-b) anstelle von 4a-2b schreibe, den Hauptnenner leichter erkennen?

Außerdem weiß ich nicht genau, wie ich den Hauptnenner mit 2 Variablen in den einzelnen Nennern ermitteln muss...

MfG

11.04.2005, 15:03

babelfish

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probier doch erstmal bei deiner ersten aufgabe, den nenner in faktoren zu zerlegen, dann wird dir sicherlich was auffallen! smile

smile

11.04.2005, 22:21

Buddy

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Hi, nochmals danke für die Hilfe, ich habe die erste Aufgabe wie folgt faktorisiert...

$\begin{eqnarray*} 12u+6v=6(2u+v) \end{eqnarray*}$ ; 2u+v lassen sich nicht weiter "zerlegen"...

Ist das so richtig?

Und was ist jetzt der Hauptnenner?

MfG

11.04.2005, 22:30

kikira

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Jeden Nenner extra herausschreiben und wenn geht, zerlegen, so weit wie möglich:

2. Aufgabe:

1. Nenner: 2x - 2y = $\begin{eqnarray*} 2 * (x - y) \end{eqnarray*}$

2. Nenner: 3x + 3y = $\begin{eqnarray*} 3 * (x - y) \end{eqnarray*}$

3. Nenner: 3x² - 3y² = 3 * (x² - y²) = $\begin{eqnarray*} 3 * (x - y) * (x + y) \end{eqnarray*}$

Den Hauptnenner ermittelst du nun folgendermaßen:

Es muss JEDER EINZELNE FAKTOR der EINZELNENNER im HAUPTNENNER ENTHALTEN SEIN
(du musst JEDEN EINZELNEN NENNER im Hauptnenner mit dem Finger abdecken können):

DAher ist nun dein Hauptnenner:

$\begin{eqnarray*} 2 * 3 * (x - y) * (x + y) \end{eqnarray*}$

Wenn du den 1. Nenner im Hauptnenner abdeckst, so bleibt $\begin{eqnarray*} 3 * (x + y) \end{eqnarray*}$ sichtbar. Daher musst du nun den 1. Zähler damit multiplizieren.

Wenn du den 2. Nenner im Hauptnenner abdeckst, so bleibt $\begin{eqnarray*} 2 * (x + y) \end{eqnarray*}$ sichtbar. Daher musst nun den 2. Zähler damit multiplizieren.

Wenn du den 3. Nenner im Hauptnenner abdeckst, so bleibt $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ sichtbar. Daher musst nun den 3. Zähler mit 2 multiplizieren.

Hast nun verstanden?

lg kiki

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11.04.2005, 22:43

Fassregel

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Ja, das ist richtig zerlegt. Zum Hauptnenner ist es jetzt nur noch ein kleiner Schritt: du hast $\begin{eqnarray*} 6(2u+v) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2u+v) \end{eqnarray*}$ , was wird dann wohl der Hauptnenner sein?

12.04.2005, 00:40

Buddy

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Hi, wäre der Hauptnenner von der ersten Aufgabe dann $\begin{eqnarray*} 6(2u+v) \end{eqnarray*}$ ?
In diesem Term sind die Faktoren 6 und 2 ja enthalten.

MfG

12.04.2005, 01:10

JochenX

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also die frage erübrigt sich doch nach kikis erklärung eigentlich.... Wink

Wink

@kiki
hast du dir die mal in ruhe durchgelesen?

ja, das ist richtig.

12.04.2005, 01:27

Equi

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Wie muss denn nun mit dem Ausrechnen fortgefahren werden?

Müssen jetzt beide Zähler einfach mit dem Hauptnenner multipliziert werden, damit die Brüche verschwinden?

Ich habe das mit dem "Faktor mit dem Finger zudecken" nämlich ebenfalls nicht ganz verstanden...

MfG

12.04.2005, 01:31

JochenX

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du darfst den bruch doch nicht einfach mit etwas multiplizieren, das würde doch etwas veränder, du darfst ihn nur erweitern, d.h. nenner und zähler beide mal eine zahl (klar1/2=2/4, mit 2 erweitern!).

also wie kiki schön beschreibt, du musst schauen, mti was du den nenner und den zähler erweitern musst, damit danach der nenner die form des hauptnenners annimmt.

der erste nenne zum beispiel hat ja schon die hauptnennerform, also kannst du diesen so stehenlassen.

mfg jochen

12.04.2005, 14:34

Equi

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Hi, also wenn ich Zähler und Nenner des zweiten Terms mit 6 multiplizieren würde, wäre das dann richtig erweitert?

MfG

12.04.2005, 14:36

babelfish

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ja genau!

Freude

aber nicht die klammern vergessen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.04.2005, 15:08

Equi

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Also folglich müsste die Aufgabe dann: $\begin{eqnarray*} \frac{5u+7v}{6(2u+v)}- \frac{6(u+v)}{6(2u+v)} \end{eqnarray*}$ heißen?

Und wie komme ich jetzt von da aus aufs Ergebnis, bzw. wie werde ich die Brüche los? Denn wenn ich die Brüche einfach normal ausrechne, bekomme ich ein völlig unsinniges Ergebnis raus...

12.04.2005, 15:10

JochenX

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na jetzt einfach noch zusammenfassen.....

es gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c} \end{eqnarray*}$

mfg jochen

12.04.2005, 15:22

Equi

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Achso...

... würde das Ergebnis dann $\begin{eqnarray*} \frac{-u+v}{6(2u+v)} \end{eqnarray*}$ heißen?

MfG

12.04.2005, 15:26

derkoch

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Freude

12.04.2005, 15:26

JochenX

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genauso und nicht anders! Freude

Freude

edit: sogar dabei zu spät Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.04.2005, 19:06

Buddy

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Hi,

ich habe mich mal an die Nenner der zweiten Augabe (sie lautet $\begin{eqnarray*} \frac{2x-y}{2x-2y}-\frac{x-y}{3x+3y}+\frac{y*(3y-x)}{3x^2-3y^2} \end{eqnarray*}$ )
"getraut", und diese wie folgt faktorisiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x-y}{2(x-y)}-\frac{x-y}{3(x+y)}+\frac{y*(3y-x)}{3(x^2-y^2)} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Wie kann ich jetzt aus diesen faktorisierten Termen den Hauptnenner ermitteln? Muss ich jetzt einfach alle Nenner miteinander multiplizieren? Oder kann ich bspw. $\begin{eqnarray*} 2*3(x+y) \end{eqnarray*}$ nehmen, weil dort ja alle Faktoren der Einzelnenner enthalten sind?

MfG

12.04.2005, 19:10

JochenX

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2*3*(x+y)
wo ist denn da der faktor (x-y) enthalten??? den hast du auf jeden fall schon mal vergessen....
aber die idee war wohl schon mal recht gut....

zerlege erst noch (x²-y²) mit hilfe der 3. binomischen formel....
danach setze deinen hauptnenne in aller ruhe wie kiki vorne zusammen.

12.04.2005, 21:48

Buddy

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Wenn ich den letzten Nenner mir der 3. bin. Formel auflöse, bekomme ich

$\begin{eqnarray*} \frac{2x-y}{2(x-y)}-\frac{x-y}{3(x+y)}+\frac{y*(3y-x)}{3(x^2-xy+yx-y^2)} \end{eqnarray*}$ raus.

Ist das so richtig? Jetzt sieht die Aufgabe noch verwirrender aus...

Könnte der Hauptnenner $\begin{eqnarray*} 2*3(x+y)(x-y) \end{eqnarray*}$ sein? (Könnte man dann eigentlich auch $\begin{eqnarray*} 6(x+y)(x-y) \end{eqnarray*}$ schreiben?)

Wenn ja, wie muss ich dann weitermachen? Die Quadrate verunsichern mich nämlich ein bisschen...

MfG

13.04.2005, 00:24

Buddy

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Ich bin ja a Depp... Hammer

Hammer

kiki hat´s oben ja schon ausführlich beschrieben...

Naja, wer lesen kann ist klar im Vorteil... smile

smile

Der Hauptnenner ist also $\begin{eqnarray*} 2*3(x-y)*(x+y) \end{eqnarray*}$

Soweit ich das dann jetzt verstanden habe, ergibt sich für den ersten Zähler (muss der Einzelnenner jetzt eigentlich auch nochmal mit dem Hauptnenner multipliziert werden??) dann folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray*} 3(x-y)*(x+y)*(2x-y) \end{eqnarray*}$

Dies führt mich aber zu meinem nächsten Problem, smile

smile

denn ich weiß nicht wie ich das richtig ausrechnen muss. Ich habe $\begin{eqnarray*} 6x^3-3xy^2-3y^3 \end{eqnarray*}$ raus, denke aber das es falsch ist.

Wie multipliziere ich denn diese 3 Klammern richtig miteinander?

13.04.2005, 09:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von Buddy
Der Hauptnenner ist also $\begin{eqnarray*} 2*3(x-y)*(x+y) \end{eqnarray*}$

Soweit ich das dann jetzt verstanden habe, ergibt sich für den ersten Zähler (muss der Einzelnenner jetzt eigentlich auch nochmal mit dem Hauptnenner multipliziert werden??) dann folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray*} 3(x-y)*(x+y)*(2x-y) \end{eqnarray*}$

Mir scheint, du hast da etwas zuviel gerechnet. verwirrt

verwirrt

Im ersten Bruch ist doch der Nenner = 2(x - y). Wenn du das mit deinem Hauptnenner vergleichst, dann fehlt der Faktor 3(x + y). Und genau damit mußt du also den ersten Bruch erweitern. Wie sieht dieser dann aus?

13.04.2005, 15:59

Buddy

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Also, laut meiner Rechnung komme ich dann bei ersten Term auf : $\begin{eqnarray*} \frac{6x^2+6xy-6xy+6y^2}{2*3(x-y)*(x+y)} \end{eqnarray*}$ also: $\begin{eqnarray*} \frac{6x^26y^2}{2*3(x-y)*(x+y)} \end{eqnarray*}$ .

Kann bzw. darf man da jetzt noch was kürzen?

Ist das so richtig?

MfG

13.04.2005, 19:15

Buddy

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Also muss man quasi den Einzelnenner/Zähler immer um die Faktoren erweitern, welche im Einzelnenner nicht enthalten sind?

Ist mein erster Term oben den so richtig ausgerechnet?

MfG

13.04.2005, 19:19

JochenX

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Zitat:

Also muss man quasi den Einzelnenner/Zähler immer um die Faktoren erweitern, welche im Einzelnenner nicht enthalten sind?

richtig, denn du willst ja den nenner durch anmultiplizieren von dem "was fehlt" zum hauptnenner verändern.
und den zähler musst du natürlich mit selbigem multiplizieren.

mfg jochen

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a*a}{b*a}+\frac{b*b}{a*b}=\frac{a^2+b^2}{ab} \end{eqnarray*}$
als einfaches beispiel...

13.04.2005, 22:42

kikira

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zurück-

Wink

dem loedibussi

Muss lachen über den Thread. Da hab ich mir so eine Mühe gemacht, das zu erklären und das ist ja voll daneben gegangen, hihi.

Naja...egal...Hauptsache, er versteht das jetzt.

lg kiki

14.04.2005, 08:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von Buddy
Also, laut meiner Rechnung komme ich dann bei ersten Term auf : $\begin{eqnarray*} \frac{6x^2+6xy-6xy+6y^2}{2*3(x-y)*(x+y)} \end{eqnarray*}$ also: $\begin{eqnarray*} \frac{6x^26y^2}{2*3(x-y)*(x+y)} \end{eqnarray*}$ .

Also ich verstehe jetzt nicht, wie du auf diesen Term gekommen bist. Kannst du deine Rechnung mal hinschreiben? Außerdem sind diese beiden Terme nicht gleich. Im Zähler hast du einmal Addition und einmal Multiplikation. Und irgendwelche Sachen kürzen würde ich erst, nachdem alle Brüche zusammengefaßt sind.

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