1,99Periode = 2 ???

01.10.2007, 11:15

Chris1506

1,99Periode = 2 ???

Hallo

ich hab heute in der schule gesagt bekommen, dass

-------> ---
1+1 =1,99(periode) = 2

ich glaube das aber nicht.
ich behaupte das 1+1 = 2 !!

gibt es für die obige aussage, wenn sie stimmen sollte einen
"mathematischen beweis"

(die frage ist ernst gemeint also keine board verarsche oder ähnliches)

danke für sinnvolle antworten mit begründung.

christian

01.10.2007, 11:22

kiste

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z.z. ist also 1.99999....=2
Subtrahieren wir doch einmal 1:
0,9999....=1.

Wir wissen wir das 1/3 = 0.3333.... ist. Multiplizieren wir diese Gleichung mit 3 so steht da:
0.9999...=3/3=1
qed Augenzwinkern

01.10.2007, 11:38

ISAS

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Stimmt das gleiche ist ja auch bei
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \cdot 9= 0,1111...\cdot 9=0,999999...=1 \end{eqnarray*}$

Aber warum ist das so? 0,00000...1 ist doch auch nicht 0!

01.10.2007, 11:40

Chris1506

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danke für die schnelle antwort.

aber ich versteh es trotzdem nicht

0,999..... ist doch niemals 1
sondern einfach "nur" 0,999periode und das kann NIE 1 werden
weils ja 9periode ist.

wie kommst du da auf 0,999 = 3/3 = 1
3/3 =1 das akzeptiere ich aber 0,9999...periode ist ungleich 1
dachte ich bis heute.

ich bin auch einverstanden mit 0,999....periode ist gerundet 1

sorry ich kapiers nicht.

mein lehrer meinte es gäbe einen mathematischen beweis über 2 seiten
und er hätte kein lust den jetzt anzuschreiben.

in der schule halten mich jetzt alle für komplett doof weil ich nicht mal 1+1 rechnen kann.

01.10.2007, 11:51

Tobias

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$\begin{eqnarray*} 0.\overline{9} = \sum_{i=1}^{\infty}\frac{9}{10^i} = 9 \left(\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^i - 1 \right) \end{eqnarray*}$

Mit der Konvergenz der unendlichen geometrischen Reihe folgt:

$\begin{eqnarray*} 9 \left(\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^i - 1 \right) = 9 \left( \frac{10}{9} - 1 \right) = 1 \end{eqnarray*}$

01.10.2007, 11:56

Chris1506

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danke genau das habe ich gesucht !!!

DANKE !

01.10.2007, 11:59

outSchool

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt schreibe

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot 3 = 0,\overline{3}\cdot 3 = 0,\overline{9} = 1 \end{eqnarray*}$

so stimmt das auch, allerdings muss ich dann sagen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} = 0,\overline{3} \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn ich zwei natürliche Zahlen addiere, bekomme ich als Ergebnis eine natürliche Zahl (Abgeschlossenheit) und keine rationale Zahl.

01.10.2007, 12:04

Tobias

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Zitat:

Original von outSchool
Wenn ich zwei natürliche Zahlen addiere, bekomme ich als Ergebnis eine natürliche Zahl (Abgeschlossenheit) und keine rationale Zahl.

Wo addierst du denn zwei natürliche Zahlen?

Wenn man voraussetzt, dass jede natürliche Zahl auch eine rationale Zahl ist ( $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ), dann bekommt man als Ergebnis natürlich auch eine rationale Zahl.

01.10.2007, 12:58

Airblader

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Noch etwas anschauliches vllt.:

$\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} = 1 \end{eqnarray*}$ ist natürlich auch deswegen sinnvoll, da es zwischen diesen "beiden" Zahlen keine andere gibt (es sei denn, es nennt mir jmd eine).

Es gibt also keine Zahl a mit $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} < a < 1 \end{eqnarray*}$ . Da zwischen zwei ungleichen Zahlen a,b (in |R) jedoch immer unendlich viele weitere Zahlen existieren - z.B. (a+b)/2 - müssen 0,99... und 1 gleich sein.

Zu der Frage: "Aber 0,00....1 ist doch auch ungleich 0" folgendes:

$\begin{eqnarray*} 0,\overline{0}1 \end{eqnarray*}$ existiert nicht, denn bei unendlich vielen Nullen kommt die 1 nie dran. Käme die 1 dran, so sind es nicht unendlich viele Nullen und damit ist es ungleich Null.

air

01.10.2007, 15:09

KUGA

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hab mal ne frage:
wer sagt den überhaupt, ich meine ist das irgendeine regel dass:
0,aaaaaa (periode) + 0,bbbbbb (periode) = 0,a+ba+ba+ba+b (periode) ist?

ich hoffe ihr versteht mich. also ich denke das perioden nicht pauschal addierbar bzw auch nicht multiplizierbar sind.

01.10.2007, 15:13

pseudo-nym

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Also addieren kann man periodische Dezimalbrüche z.B so:
$\begin{eqnarray*} 0,\overline{3} + 0, \overline{2} = 0, \overline{5} \end{eqnarray*}$

01.10.2007, 15:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von KUGA
hab mal ne frage:
wer sagt den überhaupt, ich meine ist das irgendeine regel dass:
0,aaaaaa (periode) + 0,bbbbbb (periode) = 0,a+ba+ba+ba+b (periode) ist?

ich hoffe ihr versteht mich. also ich denke das perioden nicht pauschal addierbar bzw auch nicht multiplizierbar sind.

Recht hast du! Man müsste erstmal beweisen, dass $\begin{eqnarray*} 3\cdot 0,\overline{3} = 0,\overline{9}. \end{eqnarray*}$ Dazu muss man aber erstmal klarstellen, was $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0,\overline{3} \end{eqnarray*}$ überhaupt sind. Insofern ist der einzig ordentliche Beweis in diesem Thread von Tobias erbracht worden.

01.10.2007, 18:17

Leopold

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Fast jedes Argument zu diesem Thema, ob richtig, halbrichtig, falsch oder einfach nur kurios, findet man in diesem Strang.

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1,99Periode = 2 ???

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