relativkompakt

01.10.2007, 12:18

King Knall

relativkompakt

In einem metrischen Raum X gilt, ja das eine Teilmenge M kompakt ist, genau dann wenn jede Folge in M eine in M konvergente Teilfolge hat.

Eine Teilmenge A heißt relativ kompakt, wenn ihr Abschluss kompakt ist.

Also ist eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X genau dann relativ kompakt, wenn jede Folge in A eine konvergente Folge hat.

Wo muss aber nun der GRenzwert der Folge liegen? In X oder doch im Abschluss von A?
so ganz verstehe ich diese relative Kompaktheit nicht

01.10.2007, 12:34

therisen

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Hallo,

der Grenzwert der Teilfolge muss nicht notwendigerweise in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen.

Gruß, therisen

01.10.2007, 12:58

WebFritzi

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Aber natürlich liegt er im Abschluss von A.

01.10.2007, 13:41

King Knall

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also sind die relativkompakten Mengen so charakterisiert, dass jede Folge eine im Raum konvergente Teilfolge hat (wobei der Grenzwert sogar im Abschluss liegt)

Ich will das nun beweisen: dabei bin ich so vorgegangen:

Sei zunächst $\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$ relativ kompakt. Wegen $\begin{eqnarray*} A \subseteq \overline{A} \end{eqnarray*}$ ist jede Folge in A auch eine Folge in $\begin{eqnarray*} \overline{A} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \overline{A} \end{eqnarray*}$ kompakt ist nach Voraussetzung und in metrischen Räumen Kompaktheit äquivalent zur Folgenkompaktheit ist, hat jede Folge in A eine konvergente Teilfolge.

Andere Richtung:

Sei nun $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} \overline{A} \end{eqnarray*}$ . Zu jedem $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} y_n \in A \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} d(x_n,y_n) < \frac 1n \end{eqnarray*}$
Nach Voraussetzung existiert eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} y_{n_k} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_n \to y \in \overline{A} \end{eqnarray*}$ .
Wegen
$\begin{eqnarray*} d(x_{n_k} , y) \leq d(x_{n_k} , y_{n_k}) + d(y_{n_k} , y) \to 0 \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} x_{n_k} \to y \end{eqnarray*}$

Wär der Beweis so okay?

01.10.2007, 14:28

King Knall

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eine Frage noch:

im beweis habe ich verwendet:
zu jedem $\begin{eqnarray*} x \in \overline{A} \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} y \in A \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} d(x,y) < \frac 1n \end{eqnarray*}$
wie kann ich das begründen? ich habe diesen Schluss aus der VL übernommen.

Kann ich das so begründen, dass der Abschluss von A die Menge aller Folgengrenzwerte ist und daher beliebig gut approxmiert werden kann (durch folgenglieder)

01.10.2007, 14:42

WebFritzi

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Zitat:

Original von King Knall
Sei nun $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} \overline{A} \end{eqnarray*}$ .

Du fängst falsch an, denn du musst dir eine Folge aus A nehmen - nicht aus dem Abschluss.

01.10.2007, 15:37

King Knall

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Verstehe aber nicht warum.

Wenn ich doch eine beliebige Folge aus dem Abschluss nehme und zeige, dass eine konvergente Teilfolge existiert deren Grenzwert wieder im Abschluss liegt, ist doch gezeigt das der Abschluss kompakt ist

01.10.2007, 16:09

WebFritzi

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Ähm ja, natürlich. Du hast natürlich recht, und dein Beweis ist auch OK. Sorry.

01.10.2007, 16:14

King Knall

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kein Problem. Danke für deine Hilfe

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