stetigkeit, integrierbarkeit

02.10.2007, 12:30

Tuba

stetigkeit, integrierbarkeit

Ich komme mit diesem Thema nicht soooo klar
Gegeben ist die Funktion f mit: $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}2 &\text{für }x\geq1\\1,&\text{für }x<1 \end{cases} \end{eqnarray*}$
Ich soll nun zeigen, dass f nicht stetig ist und keine Stammfunktion besitzt und begründen dass f integrierbar ist.
Damit f nicht stetig ist muss gelten $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ .
Wie mache ich das dann bei dieser Funktion? Etwa so, $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} 2=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} 1=1 \end{eqnarray*}$ . Damit sind sie an der Stelle 1 nicht stetig. Ist das so richtig?
Dass f keine Stammfunktion hat, da weiß ich leider nicht wie ich anfangen soll deswegen wäre da ein Tipp dringend gebraucht.
Warum die Funktion integrierbar ist kann ich auch nicht begründen Tränen

Danke sehr

02.10.2007, 12:58

klarsoweit

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RE: stetigkeit, integrierbarkeit

Zitat:

Original von Tuba
Damit f nicht stetig ist muss gelten $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Falsch. Gerade wenn es so wäre, dann wäre die Funktion stetig. Augenzwinkern

Wie habt ihr denn Stetigkeit definiert? Im Prinzip mußt du für die Stelle x=2 den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert bilden. Aber das hängt eben auch von euer Definition ab.

Im übrigen hat die Funktion auch eine Stammfunktion, da sie integrierbar ist. (Jede Treppenfunktion ist integrierbar.)

02.10.2007, 13:04

Tuba

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RE: stetigkeit, integrierbarkeit
Jaaaa habe mich da verschrieben, $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)\neq f(x_0) \end{eqnarray*}$ meinte ich eigentlich.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ , so haben wir die Stetigkeit definiert. Warum muss ich denn für die Stelle 2 den links-und rechtsseitigen Grenzwert bilden und nicht für die Stelle 1, denn da ist ja der Sprung.
Da $\begin{eqnarray*} 2\neq1 \end{eqnarray*}$ rauskommt dürfte die Funktion nicht stetig sein? Stimmt das?

Zitat:

Original von klarsoweit

Im übrigen hat die Funktion auch eine Stammfunktion, da sie integrierbar ist. (Jede Treppenfunktion ist integrierbar.)

Die Eigenschaft dass f integrierbar ist und f eine Stammfunktion hat sind unabhängig voneinander, deswegen folgt aus der integrierbarkeit nicht unbedingt dass die Funktion eine Stammfunktion besitzt.

02.10.2007, 13:09

klarsoweit

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RE: stetigkeit, integrierbarkeit
Da habe ich mich verlesen. Hammer

Es geht natürlich um die Stelle x=1. Und eigentlich reicht auch der linksseitige Grenzwert. Da dieser gleich 1 ist und ungleich dem Funktionswert (= 2) ist, ist die Funktion da unstetig. Insofern ist deine Begründung ok.

02.10.2007, 13:11

Tuba

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RE: stetigkeit, integrierbarkeit
Danke erstmal Tanzen

Ich muss noch zeigen, dass die Funktion keine Stammfunktion besitzt und begründen dass f integrierbar ist, nur wie gehe ich da vor?

02.10.2007, 13:15

klarsoweit

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RE: stetigkeit, integrierbarkeit

Zitat:

Original von Tuba
Die Eigenschaft dass f integrierbar ist und f eine Stammfunktion hat sind unabhängig voneinander, deswegen folgt aus der integrierbarkeit nicht unbedingt dass die Funktion eine Stammfunktion besitzt.

Hmm, ja, ok, etwas nachlässig von mir. Stammfunktion im Sinne von: es gibt eine überall differenzierbare Funktion F mit F'(x) = f(x).

Eine Stammfunktion hätte an der Stelle x=1 einen Knick und wäre damit dort nicht differenzierbar.

Bezüglich der Integrierbarkeit müßtest du mal sagen, wie ihr das definiert habt.

02.10.2007, 13:29

Tuba

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RE: stetigkeit, integrierbarkeit
Also muss ich an der Stelle 1 auf Differenzierbarkeit überprüfen.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{2-1}{x-1}\neq \lim_{x \to 1} \frac{1-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

Definiert haben wir die intergrierbarkeit nicht richtig, aber das haben wir aufgeschrieben.
Wenn eine Funktion auf dem Intervall [a;b] stetig ist, dann ist sie integrierbar auf [a;b] und Es gibt Funktionen, die nicht integrierbar sind.
Leider kann ich damit nichts großartiges anfangen, denn die Funktion ist ja nicht stetig.
Komme nicht weiter unglücklich

02.10.2007, 13:41

therisen

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RE: stetigkeit, integrierbarkeit

Zitat:

Original von Tuba
Definiert haben wir die intergrierbarkeit nicht richtig, aber das haben wir aufgeschrieben.
Wenn eine Funktion auf dem Intervall [a;b] stetig ist, dann ist sie integrierbar auf [a;b] und Es gibt Funktionen, die nicht integrierbar sind.
Leider kann ich damit nichts großartiges anfangen, denn die Funktion ist ja nicht stetig.
Komme nicht weiter unglücklich

Das hilft auch nicht weiter. Hast du schon mal etwas von Obersummen und Untersummen gehört?

02.10.2007, 13:44

Tuba

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RE: stetigkeit, integrierbarkeit
Ja habe ich. Die Untersumme dieser Funktion wäre doch $\begin{eqnarray*} U_n=1 \end{eqnarray*}$ und die Obersumme $\begin{eqnarray*} O_n=2 \end{eqnarray*}$ ?

02.10.2007, 14:12

therisen

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RE: stetigkeit, integrierbarkeit

Zitat:

Original von Tuba
Die Untersumme dieser Funktion wäre doch $\begin{eqnarray*} U_n=1 \end{eqnarray*}$ und die Obersumme $\begin{eqnarray*} O_n=2 \end{eqnarray*}$ ?

Nein. Wenn wir zeigen können, dass f auf jedem beliebigen Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ , integrierbar ist, dann folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ integrierbar ist. Interessant ist nur der Fall $\begin{eqnarray*} 1\in(a,b) \end{eqnarray*}$ . Wähle als Zerlegung $\begin{eqnarray*} a<1<b \end{eqnarray*}$ (Stichwort Treppenfunktion).

Gruß, therisen

02.10.2007, 14:23

Tuba

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RE: stetigkeit, integrierbarkeit
Ich verstehe nicht wirklich was du meinst unglücklich

a wäre doch y=2 das Integral davon y=2x.
b wäre 1 und das Integral davon y=x
Was meinst du denn mit Zerlegung? Das was ích hier gerade gemacht habe?

02.10.2007, 14:29

therisen

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RE: stetigkeit, integrierbarkeit

Zitat:

Original von Tuba
Ich verstehe nicht wirklich was du meinst unglücklich

a wäre doch y=2 das Integral davon y=2x.
b wäre 1 und das Integral davon y=x

Das verstehe ich wiederum nicht. f ist eine Treppenfunktion und daher gilt im Falle $\begin{eqnarray*} 1\in~]a,b[ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x)~\dd x = (1-a)\cdot 1 + (b-1)\cdot 2 \end{eqnarray*}$

Anschaulich gesprochen wird hierbei der Flächeninhalt zweier Rechtecke addiert.

Gruß, therisen

02.10.2007, 14:36

Tuba

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RE: stetigkeit, integrierbarkeit
Ich habs verstanden danke seeehr Therisen

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