Hessesche Normalform

02.10.2007, 16:38

Blacks

Hessesche Normalform

Hallo,
ich habe ein kleine Logikproblem.

Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ in einem gegebenen Koordinatensystem der Ortsvektor eines Punktes P aus der Ebene E ist, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{r} * \vec{n0} = d \end{eqnarray*}$

Dabei ist

$\begin{eqnarray*} \vec{n0} \end{eqnarray*}$ der normierte Normalenvektor von E und
d der Abstand der Ebene vom Ursprung des Koordinatensystems.

Die Ebene hat aber nicht nur einen Punkt P. Also gibt es unendlich viele verschiedene $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ . der Abstand der Ebene zum Ursprung ist doch aber stets gleich.
Wenn ich nun verschiedene $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ in die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \vec{r} * \vec{n0} = d \end{eqnarray*}$
einsetze, bekomme ich auch verschiedene d, was doch nicht sein kann.

Wo ist mein Fehler?

02.10.2007, 16:46

hxh

Auf diesen Beitrag antworten »

Du setzt ja verschiedene Punkte ein ( in die Hesssche Normalenform) und jeder dieser Punkte hat eine andere Lage zur Ebene, so hast du auch verschiedene Abstände zur Ebene.

Edit: das ist auch nicht die Hessche Abstandsgleichung, was du da geschrieben hast
$\begin{eqnarray*} \mid (\vec{r} -\vec{p}) * \vec{n0} \mid = d \end{eqnarray*}$

Edit:2 sry hab mich da verlesen

02.10.2007, 16:53

Blacks

Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, das hat mir nicht geholfen.

Ich weiss, dass ich nicht die Abstandsgleichung gepostet habe, das habe ich auch nie gesagt.
Ich habe die Hessesche Normalform gepostet und die beschreibt den Abstand der Ebene zu Ursprung.

Und das die Punkte alle eine unterscheidliche Lage haben ist mir auch klar.

Es geht mir darum, dass der Abstand der Ebene einen festen Wert hat.
In der Hesseschen Normalform aber je nach Ortsvektor des Punktes verschiedene abstände zum Ursprung rauskommen.

02.10.2007, 17:18

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hessesche Normalform

Zitat:

Original von Blacks
...
Wenn ich nun verschiedene $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ in die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \vec{r} * \vec{n0} = d \end{eqnarray*}$
einsetze, bekomme ich auch verschiedene d, was doch nicht sein kann.

Wo ist mein Fehler?

Es darf da überhaupt kein Problem geben, denn auch wenn du in

$\begin{eqnarray*} \vec{r} \cdot \vec{n0} = d_0 \end{eqnarray*}$

verschiedene Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ einsetzt, die alle zu verschiedenen Punkten der Ebene weisen, ist $\begin{eqnarray*} d_0 \end{eqnarray*}$ selbstverständlich konstant*. Obige Form ist auch die HNF, hxh irrt sich da.

Offenbar hast du dich beim Einsetzen verrechnet.

*) Der Beweis dieser Tatsache liegt in der Ebenengleichung begründet, denn es ist

$\begin{eqnarray*} n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 - d = 0 | \ : \ \mid \vec{n} \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{n_0} \cdot \vec{x} = \frac{d}{|\vec{n}|} = d_0 \end{eqnarray*}$

somit ist für alle $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \vec{OR} \ \text{mit R} \in E \rightarrow \vec{r} \cdot \vec{n0} = d_0 \end{eqnarray*}$

mY+

02.10.2007, 17:25

hxh

Auf diesen Beitrag antworten »

@ mythos
ich frag mich wie ich auf diese gleichung komme bzw. warum sie falsch ist

Edit: ok verstanden

02.10.2007, 17:39

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hxh
Du setzt ja verschiedene Punkte ein ( in die Hesssche Normalenform) und jeder dieser Punkte hat eine andere Lage zur Ebene, so hast du auch verschiedene Abstände zur Ebene.

Edit: das ist auch nicht die Hessche Abstandsgleichung, was du da geschrieben hast
$\begin{eqnarray*} \mid (\vec{r} -\vec{p}) * \vec{n0} \mid = d \end{eqnarray*}$
...

@hxh

Wie du darauf gekommen bist, weiss ich auch nicht Big Laugh

Sh. auch mein EDIT oben.

Es sollte für die HNF eigentlich

$\begin{eqnarray*} \mid (\vec{x} -\vec{p}) \cdot \vec{n0} \mid = d \end{eqnarray*}$

gelten. Aber es geht jetzt nicht um Punkte ausserhalb der Ebene, sondern um Punkte R, die in ihr liegen.

Deine HNF

$\begin{eqnarray*} \mid (\vec{r} -\vec{p}) * \vec{n0} \mid = d \end{eqnarray*}$

ist dann richtig, wenn R in der Ebene und P im Allgemeinen nicht in E liegen, dann ist d der Abstand des P von E, aber nicht jener des Nullpunktes von E.

mY+

02.10.2007, 18:01

Blacks

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm...
ich rechne das mal einfach an einem Beispiel durch:

Gegeben sind die Ortsvektoren:

$\begin{eqnarray*} \vec{0A} = 2\vec{e_x} + 1\vec{e_y} + 4\vec{e_z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{0B} = 6\vec{e_x} + 2\vec{e_y} + 1\vec{e_z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{0C} = 4\vec{e_x} + 6\vec{e_y} + 3\vec{e_z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{0D} = 3\vec{e_x} + 7\vec{e_y} + 6\vec{e_z} \end{eqnarray*}$

Man berechne den zum Punkt D orientierten Normaleneinheitsvektor auf dem Dreieck ABC.

So würde ich vorgehen:

Ich bilde durch das Vektorprodukt einen Normalenvektor auf das Dreieck:

$\begin{eqnarray*} \vec{BA} \times \vec{BC} = \begin{pmatrix} -14 \\ 2 \\ -18 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kürzen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \\ -9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun der Normaleneinheitsvektor:

$\begin{eqnarray*} \vec{n_0} = \frac{1}{\mid \vec{n} \mid } * \vec{n} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \vec{n_0} = \frac{1}{\sqrt{131} } * \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \\ -9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt zur HNF:

$\begin{eqnarray*} \vec{r} * \vec{n_0} = d \end{eqnarray*}$

Ich nehme nun die 3 Punkte A,B,C des Dreiecks und berechne d:

1) $\begin{eqnarray*} \vec{0A} * \vec{n_0} =d \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} * (\frac{1}{\sqrt{131} } * \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \\ -9 \end{pmatrix}) = -4.28 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \vec{0B} * \vec{n_0} =d \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} * (\frac{1}{\sqrt{131} } * \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \\ -9 \end{pmatrix}) = -4.28 \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \vec{0C} * \vec{n_0} =d \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} * (\frac{1}{\sqrt{131} } * \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \\ -9 \end{pmatrix}) = -4.28 \end{eqnarray*}$

Und siehe da, es passt perfekt. Ich muss also vorher irgendwo einen Rechenfehler gemacht haben...peinlich.

Eine Frage hab ich allerdings noch:
Wie würde ich diese Aufgabe nun weiter lösen?
Also "Man berechne den zum Punkt D orientierten Normaleneinheitsvektor auf dem Dreieck ABC."

Wenn ich die Ebene in Parameterform schreibe ist dies kein Problem.
Aber in Normalform weiss ich nicht weiter.

02.10.2007, 19:30

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem in der Parameterform ist doch eigentlich das gleiche. Wie hast du in der Parameterform diesen Vektor ermittelt?

Hinweis: Eine Methode, die zwar nicht besonders elegant ist, aber immer funktioniert, ist, die Normale durch D

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{D} + t \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \\ -9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit der Ebene E zu schneiden; der Schnittpunkt sei S, dann ist der gesuchte Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{SD} \end{eqnarray*}$

mY+

04.10.2007, 12:20

Blacks

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, dass ich jetzt erst antworten kann.

Ich habe die Aufgabe lösen können und auch verstanden.

Eine kleine Frage habe ich aber noch:

In der Hesseschen Normalform ist das "d" der Abstand der Ebene zum Urpsrung, also in der obigen Aufgabe etwa -4,28.
Wenn ich nun die Normalform ohne den normierten Normalenvektor schreibe, also:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} * \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \\ -9 \end{pmatrix} = -49 \end{eqnarray*}$

dann bleibt der Wert -49, solange man einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ aus der Ebene wählt, konstant.

Was beschreibt dieser Wert -49?

04.10.2007, 17:35

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach eine Konstante, nichts sonst Aufregendes. Andersherum - aus der Berechnung des Abstandes folgt natürlich: Es ist der Abstand vom Ursprung mal der Länge des Normalvektors Big Laugh

mY+

05.10.2007, 14:34

Blacks

Auf diesen Beitrag antworten »

Das enttäuscht mich aber ein wenig...
Ich hatte erwartet, dass mehr dahinter steckt Augenzwinkern

Aber danke auf jeden Fall!

05.10.2007, 18:49

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Weshalb enttäuscht? Genaugenommen steckt in der Konstanten ja immer der Normalabstand des Nullpunktes. Und das ist doch schon mal was.

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Hessesche Normalform

Verwandte Themen