Funktionentheorie

09.04.2005, 13:37

Bahlsen_Elfe

Funktionentheorie

Hallo,
ich habe einige Fragen zum Gebiet der Funktionentheorie:

1.) $\begin{eqnarray*} \int_{c}^{}~(z^4+1)^{-1}~dz \end{eqnarray*}$
c: abs(z-1-j)=1

meine Rechnung: z(t)=1+j+e^{j*t} , also ein geschlossenes Wegintegral

Danach habe ich auf Grund des Wirtinger Operators angenommen, dass
(z^4+1)^{-1} holomorph auf ganz C ist.

Durch den Cauchyschen Integralsatz schloss ich, dass das geschlossene Wegintegral 0 sein muss
Sind diese Gedankengänge richtig?

kann es sein, dass man hier die chauchysche integralformel verwenden muss? wenn ja, warum und wie wendet man sie an?
2.)
$\begin{eqnarray*} \int_{c}^{}~e^{cos(z)}~dz \end{eqnarray*}$
Kurve:
c11=3*e^(j*t) t E[0,pi]
c12=t tE[-3,-1]
c13=e^(j*t) tE[0,pi]
c14=t tE[1,3]
dabei handelt es sich wiederum um ein geschlossenes Wegintegral
kann ich hier wie unter 1.) vorgehen?

3.)
$\begin{eqnarray*} \int_{c}^{}~z*e^{-z^3}~dz \end{eqnarray*}$
Kurve:
c11=t tE[0,1]
c22=1+(j-1)*t tE[0,1]

hier habe ich leider keine Ahnung wie ich das lösen könnte.
kann es sein, dass ich einen beliebigen weg zw. 0 und j wählen kann, damit sich das komplizierte integral vereinfacht?

Ich hoffe Ihr könnt mir bei meinen Problemen helfen verwirrt

mfg
Bahlsen_Elfe

bitte entschuldigt meine unfähigkeit den formeleditor zu benützen Hammer

09.04.2005, 13:45

iammrvip

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Du hast doch die Integrale richtig geschrieben.

Jetzt markierst du den Code und drückst auf "f(x)" in der Symbolleiste.

Oder alternativ: Der Code muss immer

code:
1: 2: 3:	[latex] LaTeX [/latex]

09.04.2005, 13:49

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RE: Funktionentheorie

Zitat:

Original von Bahlsen_Elfe
Danach habe ich auf Grund des Wirtinger Operators angenommen, dass
(z^4+1)^-1 holomorph auf ganz C ist.

Durch den Cauchyschen Integralsatz schloss ich, dass das geschlossene Wegintegral 0 sein muss
Sind diese Gedankengänge richtig?

Leider nein: Die Funktion (z^4+1)^-1 ist auf ganz C nicht holomorph, auch nicht in dem von deiner Kurve C umrandeten Gebiet (Nullstellen von z^4+1=0 beachten). Da die Funktion aber bis auf endlich viele Punkte analytisch ist, hilft bei der Integralberechnung der Residuensatz.

Bei 2. und 3. liegt dagegen eine holomorphe Funktion auf ganz C vor (falls sie sich bei deinem gegenwärtigen Editieren nicht noch stark verändern Augenzwinkern

09.04.2005, 14:03

Bahlsen_Elfe

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RE: Funktionentheorie
danke für eure schnelle hilfe

also erhält man bei bsp 2.) 0 als Ergebnis?

zu bsp 3. das integral scheint mir ziemlich kompliziert
und da es sich nicht um ein geschlossenes wegintegral handelt, kann ich doch den chauchyschen integralsatz nicht anwenden. daher weis ich nicht wie ich dieses integral lösen soll.

zu 1. ich dachte z^4+1 hatt keine nullstellen, da ich vergessen habe das wir im komplexen sind Hammer

ich versuchs mal mit dem reusidensatz. scheint aber ziemlich kompliziert zu sein

daher werde ich mich wohl bald wieder melden Augenzwinkern

mfg
bahlsen_elfe

09.04.2005, 14:13

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RE: Funktionentheorie

Zitat:

Original von Bahlsen_Elfe
Hallo,
3.)
$\begin{eqnarray*} \int_{c}^{}~z*e^{-z^3}~dz \end{eqnarray*}$
Kurve:
c11=t tE[0,1]
c22=1+(j-1)*t tE[0,1]

Musst du wirklich dieses Integral ausrechnen (ist ziemlich eklig), und nicht etwa
$\begin{eqnarray*} \int_{c}~z^2e^{-z^3}~\mathrm{d}z \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \int_{c}~ze^{-z^2}~\mathrm{d}z \end{eqnarray*}$ ,
die wären nämlich wesentlich angenehmer. Augenzwinkern

09.04.2005, 14:31

Bahlsen_Elfe

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RE: Funktionentheorie
ja ist wirklich dieses integral
ich hoffe mal auf eine angabenkorrektur seitens des prof.

zu1. die singularität w(2)/2+j*w(2)/2 gefindet sich innerhalb der gegebenen
kurve
darauf wende ich den resuidensatz an. damit betrachte ich dieses bsp auch als gelöst Augenzwinkern

danke für die hilfe

mfg
bahlsen_elfe

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