Sind diese Ebenen identisch?

04.10.2007, 14:33

Africo

Sind diese Ebenen identisch?

Guten Tag!

Ich habe folgende 2 Ebenen:

$\begin{eqnarray*} E_{1} = 2x_{1} - 3x_{2} - 5x_{3} - 1 = 0 \\E_{2} = 4x_{1} - 6x_{2} - 10x_{3} + 2 = 0 \end{eqnarray*}$

Umgeschrieben in die Parameterform sind die beiden Richtungsvektoren der Ebenen identisch, nur ist der Punkt verschieden:

$\begin{eqnarray*} E_1: \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ E_2: \begin{pmatrix} -0,5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sind sie trotzdem identisch? Habe schon so mal rumgesucht im Internet aber irgendwie die Berechnungen nicht ganz verstanden.

Schon mal vielen Dank!

04.10.2007, 14:45

riwe

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RE: Sind diese Ebenen identisch?

Zitat:

Original von Africo
Guten Tag!

Ich habe folgende 2 Ebenen:

$\begin{eqnarray*} E_{1} = 2x_{1} - 3x_{2} - 5x_{3} - 1 = 0 \\E_{2} = 4x_{1} - 6x_{2} - 10x_{3} + 2 = 0 \end{eqnarray*}$

Umgeschrieben in die Parameterform sind die beiden Richtungsvektoren der Ebenen identisch, nur ist der Punkt verschieden:

$\begin{eqnarray*} E_1: \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ E_2: \begin{pmatrix} -0,5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sind sie trotzdem identisch? Habe schon so mal rumgesucht im Internet aber irgendwie die Berechnungen nicht ganz verstanden.

Schon mal vielen Dank!

was hast du denn da gemacht. bzw. was hast du denn da hingeschrieben verwirrt

multipliziere (1) mit 2 und subtrahiere von (2),
das ergibt $\begin{eqnarray*} 4 \neq 0 \end{eqnarray*}$
was bedeutet verwirrt

04.10.2007, 14:46

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RE: Sind diese Ebenen identisch?
Die Parameterformen sind nicht eindeutig. Da musst du schon die Normalenvektoren vergleichen und den Stützvektor der einen Gleichung in die andere Ebenengleichung einsetzen.

Das ist aber alles VIEL zu kompliziert, denn deine Ebenengleichungen sind in der Koordinatenform.
Die Koordinatenform hat nämlich einen Vorteil gegenüber den anderen beiden Formen: Sie ist EINDEUTIG.
Soll heißen: Dann und nur dann, wenn die beiden Koordinatenformen äquivalent sind, sind auch die Ebenen gleich.

Kannst du das auf deine Gleichungen beziehen?

Gruß
MI

EDIT: worauf riwe auch hinaus will...

04.10.2007, 15:07

Africo

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Ich hab das so gemacht, wie es uns die Frau Lehrerin erklärt hat. Sehr schlüssig war mir das allerdings nicht o.O

Naja wirklich äquivalent sind sie nicht. Vorzeichen bei der letzten Zahl sind unterschiedlich. Heißt also: Sie sind nicht identisch... (??)

Wenn das bei jeder Ebenengleichung in Koordinatenform so einfach is, freu ich mich in der Klausur über so ne Aufgabe Augenzwinkern

04.10.2007, 15:53

Poff

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Zitat:

Original von Africo
Naja wirklich äquivalent sind sie nicht. Vorzeichen bei der letzten Zahl sind unterschiedlich. Heißt also: Sie sind nicht identisch... (??)

Wenn das bei jeder Ebenengleichung in Koordinatenform so einfach is, freu ich mich in der Klausur über so ne Aufgabe Augenzwinkern

Sie sind NICHT identisch.

Identisch sind sie nur, wenn eine Ebenengleichnung genau das Vielfache der anderen ist, denn

Ebene E und Ebene k*E sind immer identisch (k ungleich 0). Wenn du also ein k ungleich 0 findest sodass

k*E = F gilt

sind k*E und F identisch, also auch E und F.

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