Zahlentheorie |
04.10.2007, 16:59 | Richi Love | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Zahlentheorie aufgabe iss: Ermittle diejenigen zweistelligen natürlichen Zahlen, deren Quadrat gleich der dritten Potenz ihrer Quersumme ist. bis jetzt hab ich: xy² = (x+y)³ (10x+y)² = (x+y)³ 100x+20xy+y² = x³+3x²y+3xy²+y³ |
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04.10.2007, 17:50 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Zahlentheorie Beim ersten fehlt eine Klammer: Zweistellige Zahl z:= xy, mit x = Zehner, y = Einer Das sieht doch dann wieder ganz gut aus. Da es hier um natürliche Zahlen geht und z zweistellig sein darf, lohnt es sich einmal zu überlegen, welche nat. Zahl sowohl Quadratzahl als auch Kubikzahl einer nat. Zahl ist. |
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04.10.2007, 18:09 | Richi Love | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Zahlentheorie is des ! über dem = wichtig?? |
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04.10.2007, 18:15 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Das heißt "es soll gelten". Du kannst es eigentlich ignorieren, aber es ist stilistisch schöner. |
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04.10.2007, 18:20 | Richi Love | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
und wie gehtd es weiter mit der aufgabe?? also nach dem was ich hab |
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04.10.2007, 18:56 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Zahlentheorie
Ist das Tipp genug ? |
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04.10.2007, 21:26 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Zahlentheorie
Die Zahl darf nicht nur zweistellig sein, sondern sie muss auch zweistellig sein, d.h. . Die Substitution überführt die Ausgangsgleichung in Reduziert man erst modulo 9 und dann modulo 3, so erhält man Aus folgt, dass eine der Darstellungen besitzt. Wegen kann unter Berücksichtigung von nur eine der folgenden Zahlen sein: . Definiere . Ist eine Lösung von , so gilt also . Man setzt nun nacheinander die für in Frage kommenden Werte ein und erhält jeweils eine quadratische Gleichung in Abhängigkeit von . Das liefert als einzige Lösung , also und somit ist die Zahl die einzige Lösung im Sinne der Aufgabenstellung. Wahrhaftig keine schöne Lösung. Gruß, therisen |
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04.10.2007, 21:40 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Es geht doch kürzer: Die gesuchte Zahl selbst muss Kubikzahl sein - die Begründung dafür ist nicht allzu lang. Und dann bleiben nur noch 27 und 64 zu untersuchen. |
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04.10.2007, 21:43 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Zahlentheorie Meine Formulierung war für einen "Brute-Force" Ansatz gedacht. Besser wäre die Formulierung zweistellig sein muss gewesen, ich wollte auf eine Beschränkung von oben heraus. Didaktisch misslungen, räume ich ein. Wenn man so gar keinen Plan hat, was sollte man ausprobieren? Nehmen wir nun zuerst die Rechte Seite. Es gilt dann ja Es gilt dann also und somit gibt es folgende rechten Seiten:
Welche dieser Zahlen sind nun aber auch Quadratzahlen, denn links steht ja ()². Die Kandidaten lauten: 2³=64 =8², 9³=729=27², 16³=4096=64² Und die letzte Probe übersteht nur die 27 |
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04.10.2007, 21:46 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Zahlentheorie
Tippfehler:
Hm, 9+9=19? Deine Lösung ist ja noch schlimmer als meine, Tigerbine Arthur hatte mal wieder das richtige Auge |
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04.10.2007, 21:50 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Man kann das auch etwas allgemeiner beweisen: Die diophantische Gleichung mit positiven teilerfremden hat genau die Lösungen , wobei die ganzen Zahlen durchläuft. |
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04.10.2007, 21:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Zahlentheorie Es war ja auch nicht als Musterlösung gedacht Sonder als -Methode. Ich editiere mal meine schlimmsten Patzer |
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05.10.2007, 15:16 | Richi Love | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
das heißt also es gibt nur die zahl 27 die damit die lösung iss richtig?? |
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05.10.2007, 15:17 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
naja wie arthur gesagt hat wäre die alternative 64 und ... |
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05.10.2007, 15:23 | Richi Love | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
also sind die lösungen jetzt 27 und 64 |
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05.10.2007, 15:35 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Nein, nur 27. PS: Arthurs Verallgemeinerung ist einfach zu beweisen (falls du Lust auf mehr hast). |
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05.10.2007, 15:40 | Richi Love | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
ne des iss schon so wie ihr mir des jetzt erklärt habt ok also lösung ur 27 DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAANNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKEEEEEEEEEEEEEEEEEE EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE |
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