Zahlentheorie

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Richi Love Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie
kann mir jemand bitte helfen hab ein problem
aufgabe iss: Ermittle diejenigen zweistelligen natürlichen Zahlen, deren Quadrat gleich der dritten Potenz ihrer Quersumme ist.

bis jetzt hab ich:
xy² = (x+y)³

(10x+y)² = (x+y)³

100x+20xy+y² = x³+3x²y+3xy²+y³
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie
Beim ersten fehlt eine Klammer:

Zweistellige Zahl z:= xy, mit x = Zehner, y = Einer



Das sieht doch dann wieder ganz gut aus. Da es hier um natürliche Zahlen geht und z zweistellig sein darf, lohnt es sich einmal zu überlegen, welche nat. Zahl sowohl Quadratzahl als auch Kubikzahl einer nat. Zahl ist.
Richi Love Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie
is des ! über dem = wichtig??
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt "es soll gelten". Du kannst es eigentlich ignorieren, aber es ist stilistisch schöner.
Richi Love Auf diesen Beitrag antworten »

und wie gehtd es weiter mit der aufgabe??
also nach dem was ich hab
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie
Zitat:
Original von tigerbine
[...]
Das sieht doch dann wieder ganz gut aus. Da es hier um natürliche Zahlen geht und z zweistellig sein darf, lohnt es sich einmal zu überlegen, welche nat. Zahl sowohl Quadratzahl als auch Kubikzahl einer nat. Zahl ist.


Ist das Tipp genug ?
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie
Zitat:
Original von tigerbine
Da es hier um natürliche Zahlen geht und z zweistellig sein darf, lohnt es sich einmal zu überlegen, welche nat. Zahl sowohl Quadratzahl als auch Kubikzahl einer nat. Zahl ist.


Die Zahl darf nicht nur zweistellig sein, sondern sie muss auch zweistellig sein, d.h. . Die Substitution überführt die Ausgangsgleichung



in



Reduziert man erst modulo 9 und dann modulo 3, so erhält man




Aus folgt, dass eine der Darstellungen besitzt. Wegen kann unter Berücksichtigung von nur eine der folgenden Zahlen sein: . Definiere . Ist eine Lösung von , so gilt also .

Man setzt nun nacheinander die für in Frage kommenden Werte ein und erhält jeweils eine quadratische Gleichung in Abhängigkeit von . Das liefert als einzige Lösung , also und somit ist die Zahl die einzige Lösung im Sinne der Aufgabenstellung.

Wahrhaftig keine schöne Lösung. Big Laugh


Gruß, therisen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht doch kürzer: Die gesuchte Zahl selbst muss Kubikzahl sein - die Begründung dafür ist nicht allzu lang. Und dann bleiben nur noch 27 und 64 zu untersuchen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie
Meine Formulierung war für einen "Brute-Force" Ansatz gedacht. Besser wäre die Formulierung zweistellig sein muss gewesen, ich wollte auf eine Beschränkung von oben heraus. Didaktisch misslungen, räume ich ein.

Wenn man so gar keinen Plan hat, was sollte man ausprobieren? Nehmen wir nun zuerst die Rechte Seite. Es gilt dann ja




Es gilt dann also und somit gibt es folgende rechten Seiten:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1331
1728
2197
2744
3375
4096
4913
5832


Welche dieser Zahlen sind nun aber auch Quadratzahlen, denn links steht ja ()². Die Kandidaten lauten:

2³=64 =8², 9³=729=27², 16³=4096=64²

Und die letzte Probe übersteht nur die

27 Augenzwinkern
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie
Zitat:
Original von tigerbine


Tippfehler:

Zitat:
Original von tigerbine
Es gilt dann also


Hm, 9+9=19?


Deine Lösung ist ja noch schlimmer als meine, Tigerbine Big Laugh Arthur hatte mal wieder das richtige Auge Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann das auch etwas allgemeiner beweisen:

Die diophantische Gleichung mit positiven teilerfremden hat genau die Lösungen , wobei die ganzen Zahlen durchläuft.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie
Es war ja auch nicht als Musterlösung gedacht Big Laugh Sonder als Hammer -Methode. Ich editiere mal meine schlimmsten Patzer Augenzwinkern
Richi Love Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt also es gibt nur die zahl 27 die damit die lösung iss
richtig??
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

naja wie arthur gesagt hat wäre die alternative 64 und ...
Richi Love Auf diesen Beitrag antworten »

also sind die lösungen jetzt 27 und 64
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nur 27.

PS: Arthurs Verallgemeinerung ist einfach zu beweisen (falls du Lust auf mehr hast).
Richi Love Auf diesen Beitrag antworten »

ne des iss schon so wie ihr mir des jetzt erklärt habt ok
also lösung ur 27
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAANNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKEEEEEEEEEEEEEEEEEE
EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
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