Umrechnung einer komplexen Gleichung

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04.10.2007, 22:11	winkelmu	Auf diesen Beitrag antworten »
Umrechnung einer komplexen Gleichung Hallo, ich habe irgendwie ein Brett vor dem Kopf bei der Aufgabe. Ist zwar eine Aufgabe aus dem Bereich aus der Elektrotechnik, aber es geht hier doch mehr in die Mathematik. Wer kann evtl. helfen? Es soll die Gleichung $\begin{eqnarray} \underline Z = R_s + j\omega L_s + \frac{1}{G+j\omega C} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \omega_res = \sqrt{\frac{1}{L_sC}(1-\frac{L_sG^2}{C} } ) \end{eqnarray}$ umgewandelt werden. Also ich hatte vor die Gleichung mit $\begin{eqnarray} G + j\omega C \end{eqnarray}$ zu erweitern und dann weiter zu rechnen. Nur habe ich dann ja auch das $\begin{eqnarray} \underline Z \end{eqnarray*}$ mit in der weiteren Gleichung. Da harkt es irgendwie. Wer kann helfen? Danke schon mal
04.10.2007, 22:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
JA, das Brett ist die Resonanz! Im Resonanzfall ist $\begin{eqnarray} \underline{Z} = 0 \end{eqnarray}$ mY+
04.10.2007, 22:24	winkelmu	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt also ich rechne mit $\begin{eqnarray} R_s + j\omega L_s + \frac{1}{G + j\omega C} = 0 \end{eqnarray}$ weiter und erweiter mit $\begin{eqnarray} G + j \omega C \end{eqnarray}$ . Wobei es ja nicht komplex konjugiert erweitert wird. Liege ich hiermit richtig?!
04.10.2007, 23:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mathematisch würde es zwar stimmen, aber die direkte Auflösung nach $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ würde keiner reellen Frequenz entsprechen. Wir müssen uns an dieser Stelle daher klar machen, unter welchen Bedingungen die Summe der Längswiderstände und der reziproke Wert der Summe der Querleitwerte des Vierpols gleich werden. Dies ist offensichtlich dann der Fall, wenn die Widerstände jeweils in ihrem Real- und Imaginärteil übereinstimmen. Unter diesen Voraussetzungen ist $\begin{eqnarray} \frac{L}{R} = \frac{C}{G} \ .. \ \text{Heaviside-Relation, minimale VP-Dämpfung} \end{eqnarray}$ (dies musst du nun durch die Rechnung zeigen) und damit auch $\begin{eqnarray} \omega^2 = \frac{1}{LC^2}(C - LG^2) \end{eqnarray}$ (auch dies musst du errechnen) Ist G = 0, so folgt daraus $\begin{eqnarray} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{eqnarray}$ der bekannte Resonanzfall. Ich muss noch dazu bemerken, dass ich bei der schnellen Rechnung auf ein Vorzeichenproblem gestoßen bin, irgendwie hatte ich bei der Verhältnisgleichung ein Minus zu viel - des hab ich mal weggelassen. Vielleicht kannst du das ja "ausmisten", wichtig ist, dass mal die Richtung stimmt. mY+
05.10.2007, 00:44	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt doch mal den Weg über die quadratische Gleichung nach $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ versucht: $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega^2LC - j \omega(LG+RC) - (RG+1) = 0 \end{eqnarray}$ (hier schon kann man bereits sehen, dass der Koeffizient von j verschwinden muss, soll sich eine sinnvolle reelle Frequenz ergeben) $\begin{eqnarray} \omega_{1,2} = \frac{j(LG+RC) \pm \sqrt{-(LG+RC)^2 + 4LC(RG+1)}}{2LC} \end{eqnarray}$ Wenn nun $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ reell und positiv sein soll, muss $\begin{eqnarray} LG+RC = 0 \end{eqnarray}$ werden. Setze dann $\begin{eqnarray} R = -\frac{LG}{C} \end{eqnarray}$ ein und es kommt $\begin{eqnarray} \omega^2 = \frac{RG+1}{LC} = \frac{-\frac{LG^2}{C} + 1}{LC} = \frac{C - LG^2}{LC^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \ \text{usw.} \end{eqnarray}$ Jetzt ist das mit dem Minus zwar geklärt, es hat seine mathematische Berechtigung. Aber es ist für mich noch immer nicht ersichtlich, welche Berechtigung das negative Vorzeichen in der Verhältnisgleichung der Beläge R, L, C, G, die ja allesamt positiv sind, besitzt. Die Sache mit der Heaviside-Relation passt in diesem Zusammenhang deswegen auch nicht, das muss man hier mal vergessen. mY+
05.10.2007, 21:55	winkelmu	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh, ist wirklich nicht so einfach wie ich es mir gedacht habe, aber ich bedanke mich für deine Hilfe. Werde es jetzt wohl alleine weiter hin bekommen. Nochmals vielen dank.
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05.10.2007, 22:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es liegen ja jetzt zwei Möglichkeiten vor, die auf das gleiche (und auch richtige) Ergebnis führen. Du brauchst eigentlich nur noch den Rechenweg komplettieren, den Großteil (zu einem hohen Prozentsatz) habe ich dir ja schon hin geschrieben. Die Sache mit dem Vorzeichen möge euch der Professor erklären, es wird doch noch sicher eine Diskussion darüber geben, oder? Deren Ergebnis wäre interessant. Dabei soll ja der Boden der Physik nicht verlassen werden, daher sind die Voraussetzungen notwendig, unter welchen der Vierpol in Resonanz gerät. mY+
06.10.2007, 16:29	winkelmu	Auf diesen Beitrag antworten »
Halo, das problem an dieser Sache ist, er sagte nur dazu so sieht die Grundgleichung aus und das sit die Lösung. Für den Rechenweg, also wie man auf die Lösung kommt, das könnt ihr zu Hause machen, wir haben ja in der letzten Woche so eine ähnliche Aufgabe gerechnet. Ihr könnt es ja zu Hause einfach mal probieren. Fertig aus. Naja und ich wollte es halt mal probieren.
06.10.2007, 19:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, du hast ja nun zwei ähnliche Wege und zum richtigen Resultat kann man damit - wie auch immer - bei beiden kommen. Haben das Kommilitonen von dir auch geschafft? Die könntest ja mal interviewen, wenn schon der Profex nichts von sich gibt. mY+
06.10.2007, 21:55	winkelmu	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß ich noch nicht, die Stunde war erst vor kurzem gewesen. Aber vielen Dank für die Hilfe.

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