Mengen in (x,y)-Ebene

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05.10.2007, 02:20	Gast_634	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen in (x,y)-Ebene Hiho, ich hab ein Problem überhaupt erstmal auf einen Lösungsansatz zu kommen bei folgender Aufgabe : Gegeben sind in der (x,y)-Ebene die folgenden Mengen $\begin{eqnarray} K_1=\{(x,y)\in\mathbb R^2\|x^2+y^2=4\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K_2=\{(x,y)\in\mathbb R^2\|y=\sqrt{3x}\} \end{eqnarray}$ und ich soll nun die Schnittmenge $\begin{eqnarray} K_1 \cap K_2 \end{eqnarray}$ angeben Mir geht es dabei nicht wirklich um das Ergebnis das lautet nämlich $\begin{eqnarray} K_1 \cap K_2=\{(1,\sqrt{3}),(-1,- \sqrt{3})\} \end{eqnarray}$ sondern mir geht es darum nachzuvollziehen wie ich an solche Aufgaben rangehen muss. Danke schonmal im Vorraus :-)
05.10.2007, 02:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen in (x,y)-Ebene Was stellt denn K1 dar? Also wie sieht diese Menge aus?
05.10.2007, 02:38	Gast_634	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist es ja warum ich selbst auch nicht wirklich weiterkomme bzw. nicht durchblicke, es ist einfach nichts weiter gegeben nur $\begin{eqnarray} K_1=\{(x,y)\in\mathbb R^2\|x^2+y^2=4\} \end{eqnarray}$ auseinandergenommen in Worten bedeutet das ja nichts anderes als dass $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ ein Menge darstellt die das Zahlenpaar $\begin{eqnarray} \{(x,y)\} \end{eqnarray}$ beinhaltet welches wiederrum Element der Menge der geordneten Zahlenpaare $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in \end{eqnarray}$ IR und $\begin{eqnarray} y\in \end{eqnarray}$ IR ist, bei denen gilt $\begin{eqnarray} x^2+y^2=4 \end{eqnarray}$
05.10.2007, 02:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort: Kreisgleichung. Dann solltest Du K1 leicht zeichnen können
05.10.2007, 02:51	Gast_634	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm irgendwie Blick ist´s immernoch nicht ....evtl. ist es ja heut auch schon zu spät (oder zu früh) um noch durchzusehen
05.10.2007, 02:53	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Na wenn ich schon Kreisgleichung schreibe, wird es wohl einen Kreis darstellen
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05.10.2007, 02:59	Gast_634	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das hat ich schon verstanden das ich duch einfaches umformen der Gültigkeitsbedingung die Gleichung für einen Kreis mit r=2 bekomme nur was mach ich mit dem $\begin{eqnarray} y=\sqrt{3x} \end{eqnarray}$ also mit $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$
05.10.2007, 03:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo ist denn da noch das Problem? Da ist der Graph eine Parabel. Mit Beachtung der Definitionsmenge liegen die Punkte von K2 alle im ersten Quadraten. Für den Plot habe ich K1 ja schon in 2 Fälle eingeteilt. Genauer ergibt sich hier also die Betrachtung für die Schnittmenge: $\begin{eqnarray} \hat{K_1}:~y= \sqrt{4-x^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \hat{K_2}:~y=\sqrt{3x} \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} x \in [0,2] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \in [0, \sqrt{6}] \end{eqnarray}$ Die Schnittmenge besteht hier eben aus einem Punkt, dem Schnittpunkt der beiden Kurven. $\begin{eqnarray} \sqrt{4-x^2} = \sqrt{3x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4-x^2=3x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2+3x-4 =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} \end{eqnarray}$ Mit obigen Intervallen also $\begin{eqnarray} K_1 \cap K_2 = \{(1,\sqrt{3})\} \end{eqnarray}$
05.10.2007, 17:53	Gast_634	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Tigerbine ....ich hab jetzt nochmal sehr lange darüber nachgedacht, und gerechnet und gezeichnet was das Zeug hergibt aber ich kapier immernoch nicht alles Was passiert zum Beispiel mit $\begin{eqnarray} x_2=-4 \end{eqnarray}$ ? und wie kommen die in der Lösung auf die zwei Intervalle $\begin{eqnarray} K_1 \cap K_2 = \{(1,\sqrt{3}), (-1,-\sqrt{3})\} \end{eqnarray}$ kann mir jemand noch mal ganz genau erklären wie ich zu diesem Ergebnissen komme, ist halt wichtig für mich bei solchen Aufgaben in Zukunft gleich zu wissen wie ich an alles rangehen muss.
05.10.2007, 18:00	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Lösung sollte Dir sagen, dass so wie Du K1 und K2 angegeben hast, gar keine negativen x-Werte in der Menge K2 auftreten können. Denn dann ist das angegebene y nicht definiert (Wurzel aus negativer reeller Zahl ) Auch in K1 ist deine Wahl mit x=-4 nicht möglich. Denn dann müßte für y gelten: $\begin{eqnarray} y² = 4 - 4² = -12 \end{eqnarray}$ Das ist in den reellen Zahlen nicht möglich. Von wem hast Du die Lösung denn. Die ist meiner Meinung nach falsch, oder Du hast Du K2 falsch angegeben.
05.10.2007, 18:21	Gast_634	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm die Aufgabe ist aus einem Liftkurs mit Matheaufgaben zur Vorbereitung auf´s Studium ....also eigentlich Grundlagen die ich zu 100% ich Schlaf beherrschen sollte und die haben die Lösung halt mit Abgedruckt ..hmm verschrieben hab ich mich eigentlich auch nicht aber ich schreib am besten nochmal die Aufgabe ab kann ja sein das sich durch meine bescheidenen LaTeX Kenntnisse Fehler eingeschlichen haben. $\begin{eqnarray} K_1=\{ (x,y) \in \mathbb R^2 \ \| \ x^2+y^2=4\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K_2=\{ (x,y) \in \mathbb R^2 \ \| \ y=\sqrt{3x}\} \end{eqnarray}$ und halt die Lösung : $\begin{eqnarray} K_1 \cap K_2=\{(1,\sqrt{3}),(-1,-\sqrt{3})\} \end{eqnarray}$ so jetzt hab ich sie nochmal zu 100% so aufgeschrieben wie sie in dem Liftkurs drin sind. hmm aber mir fällt grad auf das es auch $\begin{eqnarray} K_2=\{ (x,y) \in \mathbb R^2 \ \| \ y=\sqrt{3}x\} \end{eqnarray}$ heißen könnte, also $\begin{eqnarray} y=\sqrt{3}\cdot x \end{eqnarray}$ ....moment gleich mal an den Schreibtisch setzten und rechnen
05.10.2007, 18:44	Gast_634	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm joar wie ich´s mir gedacht habe ...und wieder gilt "Wer lesen kann ist klar im Vorteil" denn wenn $\begin{eqnarray} K_1=\{(x,y) \in \mathbb R^2 \ \| \ x^2+y^2=4\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K_2=\{(x,y) \in \mathbb R^2 \ \| \ y=\sqrt{3} \cdot x \} \end{eqnarray}$ ergibt sich ja durch einsetzen und umformen $\begin{eqnarray} x^2=1 \end{eqnarray}$ woraus dann wiederum $\begin{eqnarray} x_1=1 \ und \ x_2=-1 \end{eqnarray}$ hervorgeht. Die ergebnisse dann noch in die Gültigkeitsregel von $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$ eingesetzt und man erhält : $\begin{eqnarray} K_1 \cap K_2=\{(1,\sqrt{3}),(-1,-\sqrt{3}\} \end{eqnarray}$ Endlich fällt mir ein Stein vom Herzen ich dachte schon ich versage bei den Leichten Aufgaben auch schon :-) Danke nochmals tigerbine ohne deine hilfe wär mir das sicher nicht aufgefallen .....aber wie immer lag der Teufel im Detail :-)
05.10.2007, 18:51	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann haben wir ja den Übeltäter

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