Matrizen |
05.10.2007, 07:23 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Matrizen ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe: Sei K ein Körper. Sei definiert durch für alle Ich soll folgende Behauptungen beweisen oder widerlegen: 1. DIe Abbildung f ist surketiv 2. Die Abbildung f ist nicht injektiv 3. Für alle gilt f(AB)=f(A)f(B) 4. Für alle gilt f(A+B)=f(A)+f(B) 5. Für alle gilt f(aA) = af(A) ich grübele schon seit Tagen rum, aber bin nicht weit gekommen ich habe gerade mal die erste Behauptung bewiesen, wenn überhaupt richtig. und zwar bin ich da folgendermaßen vorgegangen: Sei x ein Element von K, dann gilt: daraus folgt: x+0=x Hieraus wiederum folgt, dass f surjektiv ist. ist das überhaupt richtig? Bei der 2. Aufgabe habe ich mir gedacht, dass wenn die FUnktion injektiv ist, muss für a+d ja nur genau eine mögliche Kombination vorhanden sein. Da ich beweisen muss, dass a+b nicht injektiv ist, muss ich zeigen/beweisen, dass für a+d mehr als eine mögliche Kombination vorhanden ist. Oder ? Nur weiß ich nicht wie ich das darstellen muss. bei den Aufgaben von 3-5 habe ich das problem, dass ich nicht weiterkomme, weil mich das f(Matrix) verwirrt! Kann ich das nicht einfach so beweisen: * anschließend würde ich das ausmultiplizieren und zeigen, dass sowohl A*B als auch B*A dasselbe ergebnis liefern? ich bin dankbar für jede Antwort liebe grüße kathrin |
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05.10.2007, 10:58 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Matrizen
Es gilt . Das zeigt die Surjektivität. Welchen Wert hat denn . Was sagt das über Injektivität aus? Gruß, therisen |
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05.10.2007, 12:28 | Egon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Matrizen Für 3. könntest du folgendes machen: und Dann ist [EDIT: Hatte mich vertippt. Sorry. Matrix jetzt korrekt.] Nun rechnest du f(AB) und f(A)*f(B) aus und schaust, was rauskommt. Dasselbe machst du für 4. und 5. |
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05.10.2007, 16:46 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Matrizen
auch x, oder nicht? da ist doch wieder x+0=x |
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05.10.2007, 16:49 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Matrizen
da merke ich gerade, dass ich wahrscheinlich f(AB) ganz missverstanden habe! wie rechnet man das denn überhaupt aus? tut mir leid, wenn das eine blöde frage ist, aber irgendwie stehe ich völlig auf dem schlauch. es wäre auch ausreichend, wenn ich das allgemein erklärt bekommen würde. danke im voraus |
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05.10.2007, 16:50 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
edit: ich meinte nicht f(AB), sondern allgemein f(matrix) |
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05.10.2007, 17:14 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Matrizen
Ja, genau. Jetzt beantworte meine zweite Frage. Die Abbildungsvorschrift von f hast du doch schon hingeschrieben. Das ist einfach die Spur der Matrix. |
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05.10.2007, 20:01 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bei der injektivität komme ich einfach nicht weiter |
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05.10.2007, 20:06 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Funktion ist injektiv wenn jedes Bild genau ein Urbild hat. Jetzt schau dir noch mal ganz genau an was therisen hier schreibt :
Das ist hier schon die Lösung, wenn Du diesen Ansatz nicht verstehst schau Dir noch mal ganz genau an was injektiv eigentlich bedeutet und was man da zeigen muss. |
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05.10.2007, 20:42 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man kann die Injektivität auch "leichter" haben. Wenn du Punkt (4) gezeigt hast, weißt du, dass f eine lineare Abbildung ist. Und eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Kern der Abbildung aus dem Nullvektor besteht. Du musst also nur den Kern ausrechnen. Ohne den Kern kannst du auch z.B. ganz elementar so argumentieren: a + d = (a + 1) + (d - 1). |
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05.10.2007, 20:50 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"Leichter" ist da aber sehr subjektiv |
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05.10.2007, 20:53 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, stimmt. Die Formulierung war eigentlich Blödsinn. Wollte das aber doch nochmal bemerkt haben. |
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05.10.2007, 21:22 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo nochmal, also ich wollte jetzt mal den tipp von webfritzi verfolgen. deshalb habe ich mal versucht punkt 4 zu beweisen. ich bin mir aber nicht sicher, ob das so richtig ist. und zwar, seien und dann gilt + = daraus folgt: a+d+a+d=a+a+d+d 2a+2d=2a+2d stimmt das so? |
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05.10.2007, 21:24 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das sind aber keine zwei beliebigen Matrizen |
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05.10.2007, 21:32 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
muss ich dann a11 a12 etc. nehmen anstatt von a b etc.? |
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05.10.2007, 21:35 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Matrizen
ok, da das alles nicht funktioniert, komme ich wieder hierzu, vielleicht kannst du mir ja erklären, was das über die Injektivität aussagt? |
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05.10.2007, 21:35 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kannst auch für B einfach die Einträge e, f, g, h nehmen EDIT: Wenn es zwei verschiedene Elemente der Urbildmenge gibt, die das gleiche Bild haben, so ist die Funktion nicht injektiv. |
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05.10.2007, 21:41 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
da lese ich gerade folgendes: Um zu beweisen, dass f nicht injektiv ist, reicht es aus zwei verschiedene elemente m und m' in M anzugeben, für die f(m)=f(m') ist. nehmen wir mal die elemente 1 und 0: = ist das jetzt bewiesen, dass die Matrix nicht injektiv ist? |
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05.10.2007, 21:42 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Matrizen sind nicht identisch, auch nicht ihre Spur. Das zeigt gar nichts. |
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05.10.2007, 21:43 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
genau in meinem obigem beispiel, ist das doch so oder? |
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05.10.2007, 21:44 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich bin ein hoffnungsloser fall |
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05.10.2007, 21:45 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nimm doch mal die zwei Matrizen und . |
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05.10.2007, 21:48 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bei der ersten matrix gilt dann: 1+0=1 und bei der zweiten 0+1=1, also haben die beiden unterschiedlichen elemente das selbe bild? |
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05.10.2007, 21:49 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, also ist f nicht injektiv. |
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05.10.2007, 21:53 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
super danke! jetzt ist mir das ganze auch mit der injektivität klar danke |
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05.10.2007, 22:32 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
noch mal zu den aufgaben 3. 4. und 5. es seien: dann gilt für: daraus folgt für (hier muss aber irgendetwas falsch sein?) (das müsste richtig sein?) (das müsste auch richtig sein?) |
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05.10.2007, 22:37 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Deine Ausführungen stimmen. Aussage 3 ist falsch, ich vermute es soll lauten. |
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05.10.2007, 22:42 | kathrin111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also, ist die 3. behauptung, die einzige aussage, die wiederlegt wird. der rest stimmt. super, danke für eure hilfen. ohne diese hätte ich es nicht geschafft |
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05.10.2007, 23:37 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, genau. "Beweisen oder widerlegen" hatte ich überlesen. Aussage 3 ist also widerlegt |
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