Frage zu (Gegen-)Beispiel zum Satz von Heine-Borel (FA)

05.10.2007, 11:43

mylittlehelper

Frage zu (Gegen-)Beispiel zum Satz von Heine-Borel (FA)

Hallo.

Im Anschluss an den Satz von Heine-Borel haben wir im Skript folgendes Beispiel notiert:

Sei die Folge $\begin{eqnarray*} \{a_k\}_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} (1,0,0,\dotsc,0), (0,1,0,\dotsc,0), (0,0,1,0,\dotsc,0) \end{eqnarray*}$ .

Die durch diese Folge gegebene Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ falsch!!

Richtig: des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$

ist beschränkt und abgeschlossen.

Nach Heine-Borel würde ich nun schlussfolgern, dass die Menge (überdeckungs)kompakt ist. Wir haben aber notiert, dass sie nicht (folgen)kompakt ist, da es keine konvergente Teilfolge von $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ gibt.

Beides ist für mich logisch, allerdings muss irgendwo ein Denkfehler meinerseits liegen, da nicht beides richtig sein kann.

Vielen Dank schon vorab für die Mühe mit meiner (sicherlich trivialen) Frage.

05.10.2007, 11:46

Dual Space

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RE: Frage zu (Gegen-)Beispiel zum Satz von Heine-Borel (FA)

Zitat:

Original von mylittlehelper
Sei die Folge $\begin{eqnarray*} \{a_k\}_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} (1,0,0,\dotsc,0), (0,1,0,\dotsc,0), (0,0,1,0,\dotsc,0) \end{eqnarray*}$ .

Die Folge ist so noch nicht eindeutig beschreiben. Wie sieht z.B. $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ aus?

05.10.2007, 12:25

mylittlehelper

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Zitat:

Original von Dual Space
Die Folge ist so noch nicht eindeutig beschreiben. Wie sieht z.B. $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ aus?

Ich habe keine Ahnung - mehr steht dazu leider nicht. Darüber steht noch folgendes: $\begin{eqnarray*} \overline{B_1}(0)\subset\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ , ich weiß allerdings nicht, ob und wie es damit verbunden ist.

EDIT sagt:

Beim Nachschauen habe ich festgestellt, dass die ursprüngliche Notation keine "0" am Ende vorsieht, sprich:

$\begin{eqnarray*} (1,0,0,\dotsc),(0,1,0,0,\dotsc),(0,0,1,0,0,\dotsc),\dotsc \end{eqnarray*}$

05.10.2007, 12:27

Dual Space

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Zitat:

Original von mylittlehelper
Darüber steht noch folgendes: $\begin{eqnarray*} \overline{B_1}(0)\subset\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ , ich weiß allerdings nicht, ob und wie es damit verbunden ist.

Nein. Diese Info hat nicht meit der Folge zu tun.

05.10.2007, 12:29

therisen

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Hallo,

ich denke, dass die Folge nicht im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , sondern im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist.

Konkret: $\begin{eqnarray*} a_k = (\delta_{ik})_{i\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

05.10.2007, 12:31

mylittlehelper

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Zitat:

Original von therisen
ich denke, dass die Folge nicht eine Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , sondern des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist.

Das befürchte ich auch. Soll mir das Beispiel also zeigen, dass die Endlichkeit der Dimension des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ausschlaggebend für die Gültigkeit von Heine-Borel ist?

05.10.2007, 12:32

therisen

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Ja.

05.10.2007, 12:34

mylittlehelper

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Vielen Dank!

05.10.2007, 19:05

WebFritzi

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Du hast die Folge komplett falsch aufgeschrieben. Was soll die letzte Null in einem Tupel? Ich würde mal sagen, die gibt es nicht. Besser wäre es, die Folge wie folgt aufzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} (a_n)_k = \delta_{nk},\,n,k\in\mathbb{N}. \end{eqnarray*}$

Dann ist die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^\mathbb{N}. \end{eqnarray*}$ Allerdings hat dieser Raum (soweit ich weiß) erstmal nur eine algebraische und keine topologische Struktur. Von "kompakt" kann man hier also erst reden, wenn du auf dem Raum eine Topologie definierst.

05.10.2007, 19:43

Dual Space

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WebFritzi: Erst lesen, dann posten!

Zitat:

Original von mylittlehelper
Beim Nachschauen habe ich festgestellt, dass die ursprüngliche Notation keine "0" am Ende vorsieht, sprich:

$\begin{eqnarray*} (1,0,0,\dotsc),(0,1,0,0,\dotsc),(0,0,1,0,0,\dotsc),\dotsc \end{eqnarray*}$

05.10.2007, 20:00

Marcyman

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Ich denke es geht hier um $\begin{eqnarray*} l_\infty \end{eqnarray*}$ versehen mit der Supremumsnorm.

05.10.2007, 20:17

Dual Space

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Jeder $\begin{eqnarray*} (l_p,\|\cdot\|_p) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 1\leq p\leq\infty \end{eqnarray*}$ , wäre denkbar.

05.10.2007, 20:20

WebFritzi

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Es müsste nicht einmal ein normierter Vektorraum sein, sondern nur ein topologischer Vektorraum.

07.10.2007, 18:18

mylittlehelper

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Ich war übers Wochenende nicht da. Vielen Dank für eure Beiträge, die ich erst heute lesen konnte.

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