Entwicklungspunkt & Taylorreihe |
| 05.10.2007, 13:37 | Egon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Entwicklungspunkt & Taylorreihe Ich habe etwas Mühe, mir die Taylorreihe praktisch vorzustellen; anders gesagt: Ich verstehe zwar die Worte der erklärenden Theorie (z. B. Wikipedia), aber ich kann das irgendwie nicht umsetzen. Mein momentaner Stand ist so: Ich habe eine Funktion f, die ich beliebig oft ableiten kann; z. B. sin(x) oder e^x, aber keine Polynome, da deren n-te Ableitung gleich Null ist (würde ja eh keinen Sinn machen, eine Polynom-Funktion mit der Taylorreihe anzunähern.) Nun möchte ich von dieser Funktion einen ganz bestimmten Wert wissen, den ich aus irgendeinem Grund nicht berechnen kann. Nehmen wir an, ich suche sin(a). Ist dann a der Entwicklungspunkt? Dann wende ich die Taylorreihe an. Je nach Zeit und Lust rechne ich die ersten drei, fünf, zehn oder hundert (naja, wohl nicht...) Glieder aus. Dann erhalte ich ein Resultat, das dem Originalresultat sin(a) relativ nahe kommt. Ist das alles? Ich meine, das ist relativ unspektakulär; liegt wohl daran, dass ich kein echtes Beispiel für einen "so komplizierten Ausdruck" sehe, sodass die Taylorreihe einfacher zu berechnen wäre. Immerhin muss ich diesen komplizierten Ausdruck ja n-mal ableiten können. Hat nicht jemand ein paar praktische Beispiele für mich? Und dann noch eine Frage: In Wikipedia steht: Wenn a der Entwicklungspunkt ist, also der Punkt, der mich interessiert, was ist dann x? Und -- das trifft meine obige Frage wieder -- inwiefern nützt mir die Taylorreihe etwas, wenn ich ja f(a) ohnehin ausrechnen muss? Besten Dank |
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| 05.10.2007, 13:50 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Entwicklungspunkt & Taylorreihe Beispiel
Hier liegt dein Denkfehler: Wenn du einen Funktionswert approximieren willst, d.h. du kannst ihn gar nicht anders berechnen, kannst du diesen natürlich nicht als Entwicklungspunkt nehmen. Stattdessen nimmst du einen sehr nahe gelegenen Punkt von a, denn dann wird der Fehler (Restglied) sehr gering. |
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| 05.10.2007, 13:54 | Egon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Entwicklungspunkt & Taylorreihe Vielen Dank, therisen. Das nützt mir schon recht viel. Dann ist also x der Punkt, den ich berechnen will, aber nicht kann. Und a ist ein Punkt, den ich berechnen kann und der möglichst nahe bei x liegt. Verstehe ich es allgemein richtig, dass die Entfernung von x zu a nicht grösser sein darf (soll) als der Konvergenzradius? |
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| 05.10.2007, 13:58 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Entwicklungspunkt & Taylorreihe
Genau.
Kann man im Reellen so sagen, ja. Zum Approximieren benutzt man allerdings nur ein Taylor-Polynom, keine Reihe, sodass es sich also um keine Potenzreihe handelt. Überdies hat die Taylorreihe i.a. nichts mit der Funktion an sich zu tun (d.h. sie konvergiert i.a. nicht gegen diese). Gruß, therisen |
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| 05.10.2007, 14:17 | Egon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Entwicklungspunkt & Taylorreihe
Das verstehe ich jetzt nicht ganz. Auf Wikipedia schein es mir, als ob das n-te Taylorpolynom die Summe der Taylorpolynome von 0 bis (n-1) sei. Oder habe ich da schon wieder was durcheinander gebracht?
D.h. sie konvergiert in manchen Fällen, aber man kann nicht davon ausgehen, dass sie es immer tut? |
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| 05.10.2007, 14:21 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Entwicklungspunkt & Taylorreihe
Von 0 bis n. Das ist eine endliche Summe, also keine Potenzreihe.
Selbst wenn sie konvergiert, heißt das nicht, dass sie gegen die ursprüngliche Funktion konvergiert. |
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| 05.10.2007, 14:27 | Egon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Entwicklungspunkt & Taylorreihe Vielen Dank, therisen -- vor allem für deine Geduld. Das mit der Summe habe ich jetzt verstanden. Da bin ich wohl zu salopp mit den Begriffen umgegangen. Gestatte mir noch eine Frage:
Wogegen konvergiert sie dann? Gegen den Ausschnitt der Funktion in der Nähe des Entwicklungspunktes? |
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| 05.10.2007, 14:36 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Betrachte doch mal die Taylorreihe der Funktion mit Entwicklungspunkt . |
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| 05.10.2007, 15:28 | Egon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Taylorreihe der genannten Funktion ist 0, weil jede Ableitung der Funktion f im Punkt 0 immer wieder 0 ergibt. Ich glaube, jetzt verstehe ich: Die Taylorreihe dieser Funktion konvergiert, nämlich konvergiert sie gegen 0 (naja, eigentlich konvergiert sie nicht, sondern *ist* 0). Wahrscheinlich (naja, ich hab das jetzt nicht nachgerechnet) konvergiert sie in irgendeinem oder mehreren anderen Entwicklungspunkten gegen die Funktion, aber in der Umgebung des gegebenen Entwicklungspunkts hat sie überhaupt nichts mit der ursprünglichen Funktion zu tun. Wolltest du mir das zeigen? |
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| 05.10.2007, 15:33 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, genau. |
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