Ricatti-DGL nach Bernoulli-DGL überführen

05.10.2007, 14:58

mercany

Ricatti-DGL nach Bernoulli-DGL überführen

Hallo,

ich habe eine Frage bzgl. einer Aufgabe aus einem Script zu Differentialgleichungen.

Eine Ricatte-DGL hat die Form $\begin{eqnarray*} y' + g(x) \cdot y + h(x) \cdot y^2 = k(x) \end{eqnarray*}$

Nun soll ich über den Weg der Zusammenführung von allgemeiner und spezieller Lösung in eine Bernoulli-DGL überführen.

Sei $\begin{eqnarray*} y_a \end{eqnarray*}$ die allgemeine Lösung und $\begin{eqnarray*} y_s \end{eqnarray*}$ die spezielle Lösung meiner DGL $\begin{eqnarray*} k(x) \end{eqnarray*}$ , so ist

$\begin{eqnarray*} y_a' + g(x) \cdot y_a + h(x) \cdot y_a^2 = k(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_p' + g(x) \cdot y_p + h(x) \cdot y_p^2 = k(x) \end{eqnarray*}$

Subtrahieren beider Gleichungen voneinander ergibt

$\begin{eqnarray*} (y_a - y_s)' + g(x) \cdot (y_a - y_s) + h(x) \cdot (y^2-y_s^2) = 0 \end{eqnarray*}$

Es soll gelten $\begin{eqnarray*} u(x) = y_a - y_s \end{eqnarray*}$

Damit ich mein DGL in die Form $\begin{eqnarray*} y' + g(x)\cdot y + h(x) \cdot y^a = 0 \end{eqnarray*}$ bringen kann, fehlt mir an dieser Stelle der entscheidene Kniff.

Ich hab mir überlegt, ob ich evntl. $\begin{eqnarray*} (y_a^2 - y_s^2) \end{eqnarray*}$ auflöse und dann irgendwie umforme, damit ich ein $\begin{eqnarray*} u^2 \end{eqnarray*}$ in meinem DGL bekomme. Nur irgendwie hänge ich ein wenig. Augenzwinkern

Kann mir wer helfen?

Viele Grüße,

Jan

05.10.2007, 16:23

therisen

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RE: Ricatti-DGL nach Bernoulli-DGL überführen

Zitat:

Original von mercany
Subtrahieren beider Gleichungen voneinander ergibt

$\begin{eqnarray*} (y_a - y_s)' + g(x) \cdot (y_a - y_s) + h(x) \cdot (y^2-y_s^2) = 0 \end{eqnarray*}$

Es soll gelten $\begin{eqnarray*} u(x) = y_a - y_s \end{eqnarray*}$

Tippfehler: $\begin{eqnarray*} (y_a - y_s)' + g(x) \cdot (y_a - y_s) + h(x) \cdot (y_a^2-y_s^2) = 0 \end{eqnarray*}$ wäre richtig.

Aus $\begin{eqnarray*} y_a^2-y_s^2=u(u+2y_s) \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} u'+u(g+2hy_s)+hu^2=0 \end{eqnarray*}$ (Bernoulli-DGL)

Gruß, therisen

05.10.2007, 17:38

mercany

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Super, danke dir Michi!

Dann war mein Gedanke über $\begin{eqnarray*} y_a^2 - y_s^2 = (y_a + y_s) \cdot (y_a - y_s) \end{eqnarray*}$ ja doch ganz gut.

Gruß, mercany

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