Ebenenschar geschnitten mit Koordinatenachsen

09.04.2005, 16:33

pacman

Ebenenschar geschnitten mit Koordinatenachsen

hallo

gegeben ist

E: (3+a)x1 + 2x2 + ax3 - 14 = 0

und die soll geschnitten werden mit den 3 koordinatenachsen. also

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für die x-achse usw.

ich habs mit einsetzen versucht, aber ich krieg das nicht nach t oder a aufgelöst. das ganze müsste ja meiner meinung nach nach a aufgelöst werden, da der schnittpunkt in abhängigkeit von a ist.

09.04.2005, 17:21

JochenX

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(3+a)x1+2x2+3x3=14

schnittpunkt mit der x1-achse:
P(t|0|0) wie du richtig erkennst....

einsetzen, t für x1, 0 für x2 und x3
und gleichzeitig muss es die ebenengleichung noch erfüllen:

(3+a)*t+2*0+3*0=14 <=> (3+a)*t=14

und das soll schwer nach t aufzulösen sein?

09.04.2005, 17:44

pacman

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hmmm, wie dumm von mir. man sollte die klammern nicht zu früh auflösen

09.04.2005, 17:45

JochenX

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hihi, ja richtig
dann ist das prinzipiell geklärt? Augenzwinkern

hier sind natürlich für a=-3 und a=0 sonderfälle zu beachten!

09.04.2005, 17:47

pacman

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ja die sonderfälle bei den genannten a sind die nächste teilaufgabe. damit beschäftige ich mich jetzt.

das problem ist soweit geklärt, ich bin einfach nur blöd :P

09.04.2005, 17:48

pacman

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vielen dank noch

09.04.2005, 17:52

JochenX

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Zitat:

ich bin einfach nur blöd
[...]
vielen dank noch

nichts zu danken Augenzwinkern

geht jedem mal so

mfg jochen

09.04.2005, 18:44

pacman

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sooo, nachdem ich mich registriert hab und mit einer weiteren aufgabe nicht klar kommen, dacht ich mir ich denke erstmal, rechen dann und denke dann nochmal. da ich aber trotzdem eine frage hab, frag ich mal:

zur ebene (3+a)x1 + 2x2 + ax3 -14 = 0

kommt jetzt die gerade

$\begin{eqnarray*} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

angeblich soll diese gerade zu allen ebenen Ea parallel sein. ich krieg allerdings bei a = -1,9 einen schnittpunkt. und das darf ja nicht sein. einen fehler kann ich nicht entdecken. hab das ganze mit einsetzen in die ebenengleichung gelöst

edit: genauergenommen liegt die gerade dann in der ebene. würde ja heissen sie ist parallel. könnte das die lösung sein?

09.04.2005, 18:50

Fassregel

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Man prüft, ob eine Gerade und Ebene parallel sind, indem man schaut, ob der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene im 90° Winkel zueinander stehen, bzw. ob ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

09.04.2005, 18:54

pacman

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das skalarprodukt von

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3+a \\ 2 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt tatsächlich 0, ok, dann wars das ja schon wieder

09.04.2005, 18:57

Fassregel

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bei mir ergibt das 0:

$\begin{eqnarray*} -2*(3+a)+2*6+2*a \end{eqnarray*}$

ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} -6-2a+6+2a = 0 \end{eqnarray*}$

edit: die antwort hätte sich eigentlich erledigt, lasse sie aber trotzdem mal stehen

09.04.2005, 19:02

JochenX

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Zitat:

Original von pacman
sooo, nachdem ich mich registriert hab und mit einer weiteren aufgabe nicht klar kommen, dacht ich mir ich denke erstmal, rechen dann und denke dann nochmal.

soweit schon mal: Freude

Zitat:

ich krieg allerdings bei a = -1,9 einen schnittpunkt.
edit: genauergenommen liegt die gerade dann in der ebene. würde ja heissen sie ist parallel. könnte das die lösung sein?

die methode des schnittpunktsuchens ist einwandfrei. ich weiß gar nicht, was ihr habt Augenzwinkern

sie sind parallel, wenn es keinen schnittpunkt oder aber unendlich viele.
dann ist sie sogar in der ebene enthalten, aber insbesondere natürlich auch parallel.

nur als nachtrag.

10.04.2005, 13:38

pacman

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sooo, durch eure hilfe konnte ich jetzt einiges an der aufgabe durchrechnen. bei der allerletzten teilaufgabe hakt es bei mir allerdings schon beim verständnis. ich schreibs mal hin:

gegeben sind:

$\begin{eqnarray*} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} gc: \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \pi \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ea: (3+a)x1 + 2x2 + ax3 -14 = 0 \end{eqnarray*}$

"Für alle $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ { -1 } existiert ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ { 0 }, so dass Fc parallel zu Ea verläuft, wobei { Fc } dejenige Ebenenschar ist, die durch gc und den Richtungsvektor von h festgelegt ist."

"Berechnen Sie in diesem Fall a in Abhängigkeit von c."

die ebene F heißt dann also meiner meinung nach:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \pi \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ c \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich verstehe die aufgabe so, dass für c = -1 und a = 0 die beiden ebenen parallel verlaufen. tun sie aber nicht. was nun?

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